西安电子科技大学：《固体物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 固体能带论——固体中电子的状态和能谱 §4-5 紧束缚模型

§4-5紧束缚模型 对绝缘体,其电子紧紧地束缚在原子核周围, 它们组成晶体后,由于各原子核对电子的束缚 作用特别强,晶体中的电子状态和孤立原子的 电子态自然差别不会特别明显。在这种情况下, 计算晶体的能带时,其零阶近似应该如何取? 应取为孤立原子的电子,周期势场仍作为微 扰,这就是紧束缚模型。 其微扰矩阵元 Hiv=Jy (o)x(k, rV(r)y(o(k, r)dt

§4－5 紧束缚模型 对绝缘体，其电子紧紧地束缚在原子核周围， 它们组成晶体后，由于各原子核对电子的束缚 作用特别强，晶体中的电子状态和孤立原子的 电子态自然差别不会特别明显。在这种情况下， 计算晶体的能带时，其零阶近似应该如何取？ 其微扰矩阵元 Hkk’ ＝（0)※( k,r)V(r)(0)(k’,r)dr 应取为孤立原子的电子，周期势场仍作为微 扰，这就是紧束缚模型

困难 10(k,r)为孤立原子中电子的波函数, 而除了氢原子中的电子波函数已知外, 其他孤立原子中电子的波函数我们并 不知道

困难： (0)(k’ ，r)为孤立原子中电子的波函数， 而除了氢原子中的电子波函数已知外， 其他孤立原子中电子的波函数我们并 不知道

已知孤立原子的定态薛定谔方程可写成 y+PG=R)=E""(R)(1 2m。 式中上标a是表示对孤立原子而言, φ"(-R)是位于R处的孤立原子在r处产生的 波函数; 公 V(r-Rn)是位于R处的孤立原子在处产生的 势能函数

已知孤立原子的定态薛定谔方程可写成 式中上标at是表示对孤立原子而言, φat(r－Rn ) 是位于Rn处的孤立原子在r处产生的 波函数； ( ) ( ) ( ) 2 2 2 n a t a t n a t n a t V r R r R E r R m  − −      −  ＋ −  ＝   (1) Vat(r－Rn ) 是位于Rn处的孤立原子在r处产生的 势能函数

已知 C一[a()”(一Rn) 当R=0时,C(R,)=1 R,0时,C(R,)=0。 即相差R的孤立原子的电子云不交叠,无相互 作用,则C的物理意义可理解为孤立原子电 子云交叠几率的积分

 −  n r a t s a t C＝ s (r) (r R )d 即相差Rn的孤立原子的电子云不交叠，无相互 作用，则C的物理意义可理解为孤立原子电 子云交叠几率的积分。 当Rn=0时， C(Rn )=1 Rn ≠0时， C(Rn )=0。 已知

2()()-“(-R)(-R)=? 07 与此对比可知,可理解为电子云加 权”V()-(r=R交叠积分,携带着势能 的作用和影响。 对确定的材料和R该积分为常数

与 此 对 比 可 知 ， 可 理 解 为 电 子 云 “ 加 权”[V(r)-Vat(r-Rn )]交叠积分，携带着势能 的作用和影响。 对确定的材料和Rn, 该积分为常数 ( ) ( ) ( ) ( ) ? at at at s n s n r    r V r V r R r R d    − − − =   

思路: 会 采用通过孤立原子的电子波函数 的线性组合构成晶体电子波函数 的方法,这种方法常称为原子轨 道线性组合法(LCAO)

采用通过孤立原子的电子波函数 的线性组合构成晶体电子波函数 的方法，这种方法常称为原子轨 道线性组合法（LCAO）。 思路：

下面研究由孤立原子s能级形成的S能带 选N个孤立原子波函数的线性组合作为晶体中单 电子薛定谬方程的试解: v。(k,)=N2e"y3(x-Rn)(2) R ik●r 2a(=R (r-R) C R U(k,)N2∑ek(p(r=Rn) R

下面研究由孤立原子S能级形成的S能带 选N个孤立原子波函数的线性组合作为晶体中单 电子薛定谔方程的试解： ( , ) ( ) 2 1 n a t s R i k R s k r N e r R n n  −  −  ＝  ( ) ( ) 2 1 n a t s R i k r i k r R e N e r R n n   − −  − − • ＝  (2) ( , ) ( ) ( ) 2 1 n a t s R i k r R U k r N e r R n n  − −  − − ＝ 

U(k,r+Rn)=N2∑ -ik (r+Rm -Rn)sat (r+Rm rn)o 其中Rn为某一正格矢,求和是对所有允许的原 子位矢求和。设R=RR上式成为 :U(k, r+rm)=N 2>e o(r+Rp) U(k, r) 求和仍是对所有允许的原子位矢求和。 所以,(2)式满足布洛赫定理

其中Rm为某一正格矢，求和是对所有允许的原 子位矢求和。设Rp =Rn－Rm 上式成为 ( , ) ( ) ( ) 2 1 m n a t s R i k r R R U k r Rm N e r R R n + ＝  −  + m − n + － −  ( , ) ( ) 2 ( ) 1 p a t s R i k r Rp U k r Rm N e r R p +  + −  + − ＝  求和仍是对所有允许的原子位矢求和。 所以，（2）式满足布洛赫定理。 =U(k,r)

试解(2)式代入单电子薛定谔方程 h2 2m 2+(0)V(kr)=E(k)()(3) 再用Qw(kn)左乘方程两边,并对整个晶体积 分,使用方程 y,(k,)=N2∑ek(=Rn)(2) R 2m V2+V(r=R)9“(r=R)Eg(=R,)

试解（2）式代入单电子薛定谔方程 ( ) ( , ) ( ) ( , ) (3) 2 2 2 V r k r E k k r m － ＋   s ＝ s  s        再用φs *at(k,r)左乘方程两边，并对整个晶体积 分，使用方程 ( , ) ( ) 2 1 n a t s R i k R s k r N e r R n  n −  −  ＝  (2) (1) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 at at at at V r R r R E r R n s n s n m     −  − − −     ＋ ＝

便得到均为态) ∑4jo7) at -r,bo (r-R, di r FEO (4

便得到(均为k态）   n r a t n s a t a t s R i k R e r V r V r R r R d n n  ( ) ( ) − ( − )  ( − )         − −   n r a t s a t s R a t i k R s s E k E e r r R d n n ＝ ( )  ( ) ( )  (4)