西安电子科技大学：《固体物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 晶格振动 §3-2 一维双原子链的晶格振动

§3-2一维双原子链的晶格振动 模型与色散关系 设一维晶体由N个初基原胞组成,每个初基 原胞有二个质量相等的原子,分别用A与B表 示,每个原子和它的左右近邻间距不等,弹 性系数也不等。晶格常数为a。原子A与其右 侧B原子距离为d,弹性系数为β2,与其左侧 B原子的距离为(ad)弹性系数为β1,为确定 起见,并设d<(ad),β<β2

§3－2 一维双原子链的晶格振动 一、模型与色散关系 设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2

A B i+1

■设U1(na)表示平衡位置为n的A原子 的绝对位移,U2(na)表示平衡位置 为(na+d)的B原子的绝对位移。 仍采用简谐近似和近邻作用近似,则 运动方程为

◼ 设U1（na）表示平衡位置为na的A原子 的绝对位移，U2（na）表示平衡位置 为（na+d）的B原子的绝对位移。 ◼ 仍采用简谐近似和近邻作用近似，则 运动方程为

mUI(na)=B,[U,(na)U, (na)]-B,[U, (na)U,((n-1a)] mu, na)=-B2[U2(na)-U1(na)]-B1lU2(na)-U1((n+1)a)] (3-20) 该方程组有2N个方程,应有2N个解, 此时该晶体的总自由度数也为2N

m （na）＝－β2 [U1 (na)－U2 (na)]－β1 [U1 (na)－U2（(n-1）a）] m (na)＝－β2 [U2 (na)－U1 (na) ]－β1 [U2 (na)－U1 ((n+1)a)] (3-20) 该方程组有2N个方程，应有2N个解， 此时该晶体的总自由度数也为2N。 1 •• U 2 •• U

与一维单原子链比较,这里的近似条件相同,求解方 法类似,而前者有式(3-8)解的形式,它启发我们 作类似的试探解: U,(na)=A, eilgna-ot) U2(na) =Aeilq(na+d)-ot (3-21) 将其代入方程(3-20),并消去公因子e得到

◼ 与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方 法类似，而前者有式（3－8）解的形式，它启发我们 作类似的试探解： U1 (na)＝A1 e i(qna－ωt) U2 (na)＝A2 e i[q(na+d)－ωt] (3-21) 将其代入方程（3－20），并消去公因子e i(qna-ωt) 得到

mo2-(1+2)]A1+(e+2)eA2=0 (βe+2)cA1+[mo2-(β1+2)]A2=0 (3-22) 注意该代数方程组与n无关。A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零 m0o2-(1+β)(β1e+12)e=0 (β1e+2)emo2-(1+β2 解得

[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1 e -iqa＋β2）e iqdA2 ＝0 （β1 e iqa＋β2）e -iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2 ＝0 （3－22） 注意:该代数方程组与n无关。 A1、 A2有非零 解的条件是其系数行列式为零： mω2 －(β1＋β2 ) (β1 e -iqa＋β2）e iqd ＝0 （β1 e iqa＋β2）e -iqd mω2－(β1＋β2 ) 解得

(β1+B2)/m±(12+2+ 1 P2 Cosa)1/2 (3-23) 即有两支~q的色散关系。 当取“一”号时,o记为o,称为声学支 取“十”号时,记为ω,称为光学支

ω 2 = （β1＋β2）/m± (β1 2＋β2 2＋ 2β1 β2 cosqa)1/2 /m （3－23） 即有两支ω～q的色散关系。 当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支

2(β1+β2) B m 2BI 0 πk a a a

声学支( Acousticbranch) OA2=(阝1+B2)/m-(2+B2+2P2 cosa)1/2/ 它具有q=0时,A=0的特征。 而光学支( Optical branch)格波 002=(1+P2)/m+(2+P2+21B2 cosa)12/m 它具有q=0,(≠0的特征

声学支（Acousticbranch） ωA 2=（β1＋β2）/m -(β1 2＋β2 2＋2β1 β2 cosqa)1/2 /m 它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波 ωO 2 =（β1＋β2）/m +(β1 2＋β2 2＋2β1 β2 cosqa)1/2 /m 它具有q＝0, ω0≠0的特征

、关于声学波和光学波的讨论 (一)格波数 与一维单原子链类似,可得: π/a<q≤π/a (3-24 q=2m/Nam:整数(325) 在第一布里渊区内,可取的q点数为 2元/d 2元/N

二、关于声学波和光学波的讨论 （一）格波数 与一维单原子链类似，可得： －π/a ＜q≤π/a (3-24) q＝2πm/Na m：整数 (3-25) 在第一布里渊区内，可取的q点数为 N Na a = 2 / 2 /  