西安电子科技大学：《固体物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 晶体结构 §1-6 倒格子与布里渊区

§1.6倒格子与布里渊区 .倒格子 (先在B格子和基矢坐标系中讨论) 1定义:正格子基关 倒格了基矢b1b2b 2 a:·b 01 即ia1⊥b △

§1.6 倒格子与布里渊区 一. 倒格子 （先在B格子和基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j a i ·b j = 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj

刚如b在a2×a所确定的方向上(或反方向上 b=c2xa)c为待定系数则, a1b1=ca1(a2×a3)=c9(A) 其中9为正格子初基原胞体积,同时,由定义 a1b1=2兀 比较(A)(B)式得G2x b 2丌 (a2×a2) 2 类似可得b2o(a3×a1)b=0(a1a2) 2

2 2 例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1 ＝c(a2×a3 ) c为待定系数 则， a1·b1 ＝ca1·(a2×a3 )＝cΩ (A) 其中Ω为正格子初基原胞体积，同时，由定义 a1·b1 ＝2π （B） 比较（A）,（B）式得 b1 ＝ （a2×a3） 类似可得 b2 ＝ （a3×a1） b3 ＝ (a1×a2 )  2  = 2 c  2  2

a a △

有了倒格子基矢,可构成倒格矢。 G=h1b1+h2b2+h25倒格子周期性 其中h,h2hn3为任意整数,由倒格矢G确定的空间 叫倒格子空间。 由上定义可知,G与波矢K有相同的量钢 属同一“空间”G是K空间的特定矢量。 倒格子初基原胞“体积”=b(b2×b,) 注意: 正倒格矢量钢不同,属不同的空间,可有方向上 的关系,不能直接比较大小

有了倒格子基矢，可构成倒格矢。 Gh ＝h1 b1＋h2 b2＋h3 b3 倒格子周期性 其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。 由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。 倒格子初基原胞“体积”Ω※＝b1·(b2×b3 ) 注意： 正倒格矢量纲不同，属不同的空间，可有方向上 的关系，不能直接比较大小

#思考题 对二维格子,已知正格基矢an a2如何确定b、b的方向? 强调 这里定义的倒格矢,所对应的正 格矢是在基矢坐标系中的

#思考题： 对二维格子，已知正格基矢a1、 a2 ,如何确定b1、b2的方向？ 强调： 这里定义的倒格矢，所对应的正 格矢是在基矢坐标系中的

2.倒格子的重要性质(正倒格 子间的关系) (01.若h1、h2、h3为互质整数,则 G2=h1b1+h2b2+h2b3为该方向的最短倒格矢 (2)正、倒格子互为倒格子。 (3).Gn=hb1+h2b2+h3b3垂直于晶面族 (h1、h2、h3)(两个h、h2、h3分别相 等)。 证:晶面族(h1h2、h2)中的一个晶面在a、 。a2、a3上的截距为xyz由面指数的定义: (h1、h2h3)=m(1、1、1/z)即 h1x=hy=h2z=m(m为公因子)(A)

2．倒格子的重要性质（正倒格 子间的关系） (1).若h1、h2、h3为互质整数，则 Gh ＝h1 b1＋h2 b2＋h3 b3为该方向的最短倒格矢。 (2).正、倒格子互为倒格子。 (3). Gh ＝h1 b1＋h2 b2＋h3 b3垂直于晶面族 （h1、h2、h3）（两个h1、h2、h3分别相 等）。 证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、 a2、 a3上的截距为x,y,z,由面指数的定义: （h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z) 即 h1 x＝h2 y＝h3 z＝m （m为公因子） （A）

在该晶面上作二非平行矢量(如图) e u=xa yu2 y 2 za 3 a2 u

在该晶面上作二非平行矢量（如图） u＝xa1－ya2 v＝ya2－za3

由倒基天定义=2(hx一by)3) J u: G,=(xa ya2) (h,b th,b2+ 由(A)式2m(m-m)=0 O 即U⊥Gn同理可证0⊥Gn G与(h1、h2、h3)面内二条非平行直线均 垂直所以 G垂直于(h1yh2、h3)晶面族

则 u·Gh ＝(xa1－ya2 ) ·(h1 b1＋h2 b2＋h3 b3 ) 由倒基矢定义 ＝2π（h1 x－h2 y） 由（A）式 ＝2π(m－m)＝0 即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以 Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族

(4)某方向最短倒格矢 Gn=hb+h2b2+h2b3之模 和晶面族(h1n、h3)的 面间距d1成反比。 2兀 d 5方 G

(4) 某方向最短倒格矢 Gh ＝h1 b1＋h2 b2＋h3 b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。 h h G d 2 =

(5)倒格矢Gn和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 G R 2Tm 间题 若Gn,Rn分别为正、倒格矢,上 式成立。反之,若上式成立,若已知 一个为正格矢,则另一个必为倒格矢 吗?

（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh ·Rn ＝2πm 问题： 若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？