《医学物理学》课程教学资源（习题解答）真空中的静电场

第八章真空中的静电场 基本要求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理一一高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内容提要 一、真空中的库仑定律 F=婴白 库仑定律的适用条件：1.点电荷：2.电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1.对处于电场中的其他带电体有作用力： 2.在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电 场具有能量。 电场强度的定义式 E=F 90 点电荷场强公式 E=证昌白 场强叠加原理电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 110

110 第八章 真空中的静电场 基 本 要 求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、真空中的库仑定律 ( ) 4 1 2 1 2 0 r r q q r F =   库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力； 2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电 场具有能量。 电场强度的定义式 0 q F E = 点电荷场强公式 ( ) 4 1 2 0 r r q r E =    场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强

1、电荷线密度为入的无限长均匀带电直线外一点的场强 E二2o4 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 E= 260 方向垂直于带电平面。 3、带电Q、半径为R的均匀带电导体球面或导体球的场强 分布 rR时，E=4E,F6 4、带电Q、体密度为p的均匀带电球体场强分布 KR时，E=4,R r>R时，E= 三、电通量高斯定理 电场线（电力线）画法1.电场线上某点的切线方向和该点 场强方向一致：2.通过垂直于E的单位面积的电场线的条数等于 该点E的大小。 电场线的性质1.两条电场线不能相交：2.电场线起自正电 荷（或无穷远处)，止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾， 不是闭合曲线。 电场强度通量中.=川E·S 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S的电场线的条 数。 高斯定理真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度 111

111 1、电荷线密度为 λ 的无限长均匀带电直线外一点的场强 a λ E 0 2 = 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 2 0  σ E = 方向垂直于带电平面。 3、带电 Q、半径为 R 的均匀带电导体球面或导体球的场强 分布 rR 时， 2 0 4 0 E r r Q  = 4、带电 Q、体密度为 ρ 的均匀带电球体场强分布 rR 时， 2 0 4 0 E r r Q  = 三、电通量 高斯定理 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点 场强方向一致；2. 通过垂直于 E 的单位面积的电场线的条数等于 该点 E 的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电 荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾， 不是闭合曲线。 电场强度通量  =  s Φe E dS 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积 S 的电场线的条 数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度

通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/o倍。 月5s盈 60 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场 与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性环路定理 静电力做功的特点电场力做的功只取决于被移动电荷的起 点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理E·dl=0 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保 守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个 电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系Aa6=2(W62W。) q0在电场中a、b两点电势能之差等于把q0自a点移至b点 过程中电场力所做的功。 m。-m。=∫心F.dl=go∫心E.dl 电势能选标准点（势能零点），且取W=0,9%在电场中某 点a的电势能为 m。=goJE.dl 即q0自ā移到“标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属 新产生电场的源电荷系统共有：

112 通量等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/ 0 倍。 0     = S内 S q E dS 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场 与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性 环路定理 静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起 点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理  = 0  E dl 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保 守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个 电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系 Aa→b = (Wb  Wa) q0 在电场中 a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点 过程中电场力所做的功。   − =  =   b a b a Wa Wb F dl q E dl 0 电势能 选标准点（势能零点），且取 W 标=0，q0 在电场中某 点 a 的电势能为  =  标 0 a Wa q E dl 即 q0 自 a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属 于 q0 和产生电场的源电荷系统共有

电势差a、b两点的电势差即把单位正电荷自a→b过程中 电场力做的功。 0。-U,=_形=El 90 电势电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。 u,-形=Edl 90 点电荷电势公式V=4雷 电势叠加原理电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系电势梯度 等势面电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系①等势面与电场线处处垂直：②电 场线从高电势处指向低电势处：③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 E=-gradU或E=-VU 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下 三种：1.用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强：2.由高斯定 理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的 场强：3.己知或求出电势分布U后，再由E=-gradU求场强。 熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。 113

113 电势差 a、b 两点的电势差即把单位正电荷自 a→b 过程中 电场力做的功。  =  − − = b a a b a b d q W W U U E l 0 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。  = =  标 0 a a a d q W U E l 点电荷电势公式 r q U 0 4 = 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系 电势梯度 等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电 场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 E = −gradU 或 E = −U 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下 三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定 理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的 场强；3. 已知或求出电势分布 U 后，再由 E = −gradU 求场强。 熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键

1.用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带 电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连 续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介 绍连续带电体的场强的求解方法一一积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作 电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点 的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主 要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷， 任一电荷元在空间某点场强为 dE= .ro 4E。r2 ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 E=-证- 选择适当的坐标系，把矢量积分E=「dE化为分量积分式，如取 直角坐标系，则E=∫dEx,E,=∫dE,E=∫dE, ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定 的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电 体。 ④进行积分求得Ex、E,、E,再求出E。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小 宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳） 所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成， 这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线 上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积 分化为单重积分来做，使运算简化。 11

114 1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带 电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连 续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介 绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作 电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点 的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主 要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷， 任一电荷元在空间某点场强为 2 0 4 0 1 E =  r r dq d  ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 2 0 4 0 1 E E r   = = r dq d  选择适当的坐标系，把矢量积分  E = dE 化为分量积分式，如取 直角坐标系，则 Ex=  d Ex ，Ey=  d Ey ，Ez=  d Ez。 ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定 的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电 体。 ④进行积分求得 Ex 、E y 、Ez，再求出 E 。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小 宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳） 所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成， 这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线 上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积 分化为单重积分来做，使运算简化

2.由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高 斯面使场强E能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如 F, ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对 称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称 性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯 定理求解： ②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。如电场 具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面：电场具有轴对 称性时，高斯面取同轴的柱面：电场具有平面对称性时，高斯面 取轴垂直于平面并于平面对称的柱面： ③求出高斯面所包围的净电荷g,代入高斯定理的表示式求 出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3.求电势分布U后，由E=-VU求场强 因为电势是标量，己知电荷分布用积分求电势比用积分求场 强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的 函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例1长I厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为1的电 荷。求： (1)在导线的延长线上与导线一端B相距R处P点的场强： (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距R处Q点的场 强。 0 R (a) (h) 图8一1 115

115 2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高 斯面使场强 E 能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如 下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对 称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称 性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯 定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强 E 能提到积分号外面。如电场 具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对 称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面 取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； ③求出高斯面所包围的净电荷 q，代入高斯定理的表示式求 出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布 U 后，由 E = −U 求场强 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场 强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的 函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例 1 长 l 厘米的直导线 AB 均匀地分布着线密度为 λ 的电 荷。求： （1）在导线的延长线上与导线一端 B 相距 R 处 P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距 R 处 Q 点的场 强。 A dx O B P x l R （a） R´ A dx B x l （b） Q dE  图 8—1

解(1)如图8一1(a)所示，取A点为坐标原点，向右为x 轴正方向。直导线上任一k线元到A点距离为x,其电场强度为 Adx dE=4e,0-x+ 而各段在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为 E,=可aE=4毫0-x+R 1. 11 4m。I-x+R。4ERR+7 方向沿x轴正方向。 (2)若以导线AB中心为坐标原点，如图8一1(b)所示。 dk线元在Q点产生的电场为 Adx E=4霜，+R (方向如图所示) 由于对称性，其叠加场强沿y正方向，水平方向相互抵消。 在Q点的场强为 E。=∫dEcos0=,1 Adx R 4E。nx2+R)(x2+R2为 2R'2 dx 2R' 4E(x2+R2)2ER2(R2+x。 =4匹R+W27 方向沿y轴正方向。 当导线1为无限长时，由上式可求得场强为E=1/(2匹。R)。 116

116 解 （1）如图 8—1（a）所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。直导线上任一 dx 线元到 A 点距离为 x，其电场强度为 2 0 4 ( ) 1 l x R dx dE − + =   而各段在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向），故总场强为 ) 1 1 ( 4 ( ) 4 1 4 ( ) 1 0 0 0 0 2 0 R R l λ l x R λ l x R dx E dE l l P + = − − + =  − + = =       方向沿 x 轴正方向。 （2）若以导线 AB 中心为坐标原点，如图 8—1（b）所示。 dx 线元在 Q 点产生的电场为 4 ( ) 1 2 2 0 x R dx dE +  =   （方向如图所示） 由于对称性，其叠加场强沿 y 正方向，水平方向相互抵消。 在 Q 点的场强为   − +    +  = =  2 2 2 1 2 2 2 2 0 ( ) 4 ( ) 1 cos l l Q x R R x R dx E dE    2 0 2 2 2 0 2 0 2 3 2 2 0 2 ( ) ( ) 4 2 l l R R x R x x R R dx   +   = +   =       ( )  1 2 2 2 0 2 1 4 R R l l  +   =   方向沿 y 轴正方向。 当导线 l 为无限长时，由上式可求得场强为 /(2 ) E =   0R

例2一带电细线弯成半径为R的半圆形，其电荷线密度为 1=λosin0,式中0为半径R与x轴所成的夹角，1o为一常数，如 图8一2所示，试求环心O处的电 场强度。 解在0处取电荷元，其电量 为 dg =Aodl=Rsin ede 0 它在O点处产生的场强为 dEZ-dE, 。细 图8—2 dE=- 在x、y轴上的两个分量 dE.=-dE cos0,dE,=-dEsin E=- scom/-0 85oR 所以 E:E1+5= 例3利用带电量为Q、半径为R的均匀带电圆环在其轴线 上任一点的场强公式E= 您，欣+rg推导一半径为R、电荷 Ox 面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步 推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。 解设盘心O点处为原点，x轴沿轴线方向，如图8一3所 示，在任意半径r处取一宽为dr的圆环，其电量 dq =2nordr 117

117 例 2 一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，其电荷线密度为 λ=λ0sinθ，式中 θ 为半径 R 与 x 轴所成的夹角，λ 0为一常数，如 图 8—2 所示，试求环心 O 处的电 场强度。 解 在 θ 处取电荷元，其电量 为 dq dl = 0 = 0Rsind 它在 O 点处产生的场强为 2 4 0R dq dE  = R d 0 0 4 sin     = 在 x、y 轴上的两个分量 dEx = −dEcos ， dEy = −dEsin  = − =       0 0 0 sin cos 0 4 d R Ex R d R Ey 0 0 0 2 0 0 8 sin 4        = − = −  所以 E i j = Ex + Ey j R λ 0 0 8 = − 例 3 利用带电量为 Q、半径为 R 的均匀带电圆环在其轴线 上任一点的场强公式 ( ) 2 3 2 2 0 4 R x Qx E + =  推导一半径为 R、电荷 面密度为 σ 的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步 推导电荷面密度为 σ 的无限大均匀带电平面的场强。 解 设盘心 O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图 8—3 所 示，在任意半径 r 处取一宽为 dr 的圆环，其电量 dq = 2rdr 图 8—2 o x y  dE dEy dEx dq

dE= xdg 4z02+x2y p dE rdr 图8一3 28.2+x2☒ -爱中 哥最 当R→∞时，即为“无限大”带电平面 6舜*品 例4如图8一4所示，一厚为a的无限大带电平板，电荷体 密度p=kx(0≤x≤a),k为一正值常数。求： (1)板外两侧任一点M、M的电场强度大小： (2)板内任一点M的电场强度： (3)场强最小的点在何处。 解(1)在x处取厚为dx的平板， 此平板带电量 dq=pdx.S M 电荷面窑度为。=空=达 则 dE=·=pt_cxd 2E02E0260 院鸳 图8一4 (2)板内任一点M左侧产生的场强方向沿x轴正向 118

118 ( ) 2 3 2 2 0 4 r x xdq dE + =  ( ) 2 3 2 2 2 0 r x x rdr + =    ( )   + = = R r x x rdr E dE 0 2 3 2 2 2 0   R r x x 0 2 2 0 1 2         + = −           + = − 2 2 0 1 1 2 R x x x   当 R →∞时，即为“无限大”带电平面 2 2 0     = =  x x E 例 4 如图 8—4 所示，一厚为 a 的无限大带电平板，电荷体 密度 = kx (0≤x≤a)， k 为一正值常数。求： （1）板外两侧任一点 M1、M2的电场强度大小； （2）板内任一点 M 的电场强度； （3）场强最小的点在何处。 解 （1）在 x 处取厚为 dx 的平板， 此平板带电量 dq = dx  S 电荷面密度为 dx S dq  = =  则 2 0   dE = 2 0  dx = 2 0  kxdx =  = a dx kx E 0 2 0  0 2 4 ka = （2）板内任一点 M 左侧产生的场强方向沿 x 轴正向 图 8—4 a M1 M M 2 O x 图 8—3 p dE x R r dr O

=密 M右侧产生的场强方向沿x轴负向 -安 460 所以 E=g.6-br-） 4.48。 480 (3)E=0时场强最小，即2x2-a2=0 x=a/2 例5如图8一5所示，圆锥体底面半径为R,高为H,均匀 带电，电荷体密度为P,求顶点A处的场强。 解在离顶点A为x处选厚为dx 的薄圆盘，此圆盘半径为r。由图知 x rR 即 图8一5 此薄圆盘的带电量 dq=pdv=pm'dx 电荷面密度g厅电量/面积=Pm达=h 02 利用例3均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果 股 可得此薄圆盘在A点的场强 119

119 dx kx E a  = 0 0 1 2 0 2 4 kx = M 右侧产生的场强方向沿 x 轴负向 dx kx E a x = 0 2 2 ( ) 0 2 2 4 k a − x = 所以 ( ) 0 2 2 0 2 4 4 kx k a x E − = − ( ) 2 2 0 2 4 x a k = −  （3）E = 0 时场强最小，即 2 0 2 2 x − a = x = a 2 例 5 如图 8—5 所示，圆锥体底面半径为 R，高为 H，均匀 带电，电荷体密度为 ρ，求顶点 A 处的场强。 解 在离顶点 A 为 x 处选厚为 dx 的薄圆盘，此圆盘半径为 r。由图知 R H r x = 即 x H R r = 此薄圆盘的带电量 dq dV r dx 2 =  =  电荷面密度 σ=电量/面积= dx r r dx    = 2 2 利用例 3 均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果         + = − 2 2 0 1 1 2 x x R x E   可得此薄圆盘在 A 点的场强         + = − 2 2 0 1 2 r R x dE   R A H x 图 8—5