《医学物理学》课程教学资源（参考资料）学习量子力学五十年——“i”与“I”之迷

学习量子力学五十年一“”与“"之谜 倪光炯 复且大学物理系 我于2000年退休后侨居美国，在2003年7月忽然收到张永德教授的E-mail 说要编一本关于量子力学的书，由国内这方面有造诣的学者各写一篇文章，请我也 参加。我想这是一个好主意，便欣然从命。屈指算来，自己学习量子力学（以下记 为QM)已达50年，研究工作几乎都以QM为基础，如人饮水，冷暖自知。我想如 实地把自己的感受写下来，希望引起广大读者特别是年青一代的兴趣。 1一些历史的回顾 192年全国高校院系调整，我从上海交大物理系转到复旦读二年级。那时树 推行“四大力学”（和数学物理方法）。1953年谢希德先生从美国MT获得博士学 位后回国，先在我们班上教一门“分析力学”（在已学“理论力学”的基础上），再于 1954一1955年连续二学期教我们“量子力学“（同时由周世勋先生教“电动力学"）。 她上课（和讲义）的内容扎实，条理十分清楚。我还记得每次上课一开始，她常常以 一口标准的普通话说：“我们愿意知道，.：我们还愿意知道，.”。一下子就把 我们深深地吸引住了。当时很幸运，没有什么政治运动干扰，大家读书很用功。我 除认真地复习、做习题外，还系统地读了前苏联布洛欣采夫（量子力学）（上下册）和 塔姆（电学原理》（上下册）两书的中译本。加上三年级时卢鹤绂先生教我们“热力 学和统计物理”，我们也做了许多实验。回想起来，当时物理系的教学确实比过去 提高了一大步。 我于1955年毕业后留校做助教，第二年全国“向科学进军”时，刚好两位留美 的青年物理学家李政道和杨振宁发表关于“宇称不守恒"的论文，震动了全世界。 我当时水平很低，连3衰变能谱怎样算都不懂，但心里却暗中把他们两位作为自己 的学习榜样。这一点无论从思想上和科学本身（下面会谈到）对我都有深刻的影 响。 在四大力学中，QM是特别惹人喜爱的，表现在这方面的书特别多。在国际 上，除Dirac的经典著作外，文献上引用较多的有Schifr),Landau-Lifshitz

.144. 量子力学朝花夕拾—教与学篇 Merzbacher,Sakurai的两本so,Bjorken-Drell列和Feynman'等等。在国内，以 “量子力学“为书名的作者也很多，台荷吴大蔽先生的量子力学书也很有特色。 以上这些书的作者及研究者儿乎都是大学教师，它们反映了QM的一大持 色 最前沿的研究课题往往与教学内容密切联系。另 个有中国特色的事情 是：四大力学和数理方法都有全国性的研究会，每1一2年组织全国性的研讨交流 这是促进教学水平不断提高，内容不断更新，新教师加速成长的好方法。所以我想 说，中国物理学的教学，从20世纪50年代中期起，虽然有两次大起大落，整个地 看，还是保持在相当高的水平上，为中国现代化建设事业提供了扎实的教育基础利 人才准备。 2量子力学妙在何处 QM为什么这样惹人喜爱？原因在于它非常美。正如第一流的绘画或音乐艺 术作品那样，这种美不是眼就看得清楚或一听就懂的，而是禁得起反复学习、反 复琢磨，反复思考的。例如，QM奠基人之一，Drac说他自己在1972年之前认为 QM最妙的地方在于不可对易性，如位置与动量多，两个算符之间，存在（不）对 易关系 【,p]=p,-p=i (1) 这一与经典物理学两个物理量之间的可对易性(AB=BA)截然不同的性质，于 1924年被Hcisenberg首先发现时，他自己也不懂。是他的老师Bam一眼看出：2 方，应谈用数学中的矩阵来表示.所以Hcg建立的QM在早期又称为圆 Drac说他在1972年后的看法改变了，觉得QM中最妙的地方是引入波函 数 一又称为“概率幅”。例如，一个自由粒子的平面波（在一维空间》应表示为 t)exp(pr -Et) 这是1925年薛定谓首先发现的。他和Drac都强调：在波函数中i=-1的引入 是必不可少的，它又是看不见的，所以波函数不是直接可观察量。其实在对易关 系式(1)中早就出现，不过它与青乘在一起便不那么显眼了 人们常说：当取一→0的极限时，不连续的（分立的）QM便回到连续的经典力 学。事实上，在式(2)中青的位置表明A=0是一个“本性奇点”，因此只有→0 的极限过才是允许的，这一点从盛道效应的表达式可以看得更清楚[注：复变函 数论中有一条深刻的定理 卡定理：在一个本性奇点的任意小邻域内，复函数 可以无限次地取任何一个数（至多有一个数例外）]。因此从经典力学向QM的过 渡，不是从连续向不连续的光滑过渡，而是一种质的飞跃

学习量子力学五十年—“与”了之莲 。145 假如说青还可以连续变化，那么1却是不可连续变化的。所以1925年薛定 一连写了6篇文章，反复琢增是否需要i,当他最后下决心写下他的方程式 =-动+v(r) (3 让：明显地出现时，他确实作出了一个历史性的伟大发现。薛定号建立的QM在 早期被称为“波动力学”。·这个由式(2)表示的波叫作德布罗意波，是德布罗意 于1923年首先写出来的。有些书上曾称它为“物质波”，我党得不对，明明是看 不见的东西。“物质波”这个名词完全忽视了的存在，忽视了i在QM中不是可用 可不用，而是必须用的。i本质地进入了QM(与之成对比的是电工学，那里用：不 过是为了方便，你可以在电工学中完全不用)。 方程(3)可以认为与经典力学中能量E等于动能与势能V(x)之和相对 应，只要把力学中的量算符化如下 E→=i 方→=-, (，=-i) (4) 用式(4)中争，的微分表示可立刻看出对易关系式(1)成立。 只要我们接受式(1)一(4)，很多实际问题都可以计算了，并且与实符合得很 好。自然科学史上还没有任句一种测的理论，能够像QM那样在应用中取得如此 辉煌的成功。然而，正如著名物理学家Gellman所说： “全部近代物理学是受那个叫作量子力学的宏大的、使人糊涂的学说支配的。 它已经受住一切检验，没有任何理由相信它会有任何暇疵 我们全都知道怎么 用它，怎样把它用到具体问题中去；因而我们已经学会与这一事实共处，那贰是没 有人能够懂得它。”（引自文献[10]339页）。 著名物理学家费曼(1918~1988)于1964年在康奈尔大学作演讲时也说得很 妙u “曾经有一个时期报纸上说只有12个人懂相对论。我不相信真有那样的时 侯，可能有一个时间只有，一个人懂，图为在他写文章之前只有他一个人明白了，但 是当人们读了他的文章后有许多人在各种程度上懂了相对论，背定超过12个人。 不过在另一方面，我想我可以挺有把握地说，没有人懂景 假如可能避开它 的话，你干万不要不停地对自已说：‘事情怎么会变成这样？”因为这痒一一采，你将会 ‘掉到阴沟里去'而进入一个死胡同，从那里还没有一个人能够逃出来过。没有人

。146 量子力学朝花少拾—教与学篇 知道事情怎么会变成这样的。” QM为什么这样难橙？我体会难懂的焦点就在这个1上。而费曼的忠告确 非常重婴，我们千万不要在时机还没有成熟的时候，就对QM的基本解释去苦思 徒然在死胡同里浪费时间。我读到他们的话已是很迟的半，自己庆幸不 曾过早地去钻死湖同，但之谜却一直挂在我的心头。 3测不准关系和信息 Heisenberg于1927年通过用显微镜观察电子的理想实验而建立QM中的“不 △p,△r≥7 在早期中国物理书中曾译为“测不准关系”，我觉得很好。因为 ,或x的数值都 是通过测量才能从实验中得出的。这种测量在QM中表示为算符对波函数的作 用，例如要从式(2)取出那个动量P,必须用式(4)中的算符多。作用于它一对泼 函数作一个“空间平移”操作（推它一下） B9=ih=-ih四红+△，。0 (6) 50年前，当我刚学到此式时，觉得大惑不解：为什么一个好端端的数p(它在 经典物理中有确定的意义和数值)，到了QM中会变成一个算符户，相应地有测不 准关系式(5)和对易关系式(1)呢？难道p不是原来（未测之前）就已经存在了吗 经过许多年对QM的研究和思考，并了解东西方哲学的差异以后，我才忧然 大 :包括爱因斯坦在内的许多物理学家之所以认为力和工都是原来就存在（称 之为物理要素)，是由于西方哲学的主流是重视数字、数学和原子论的，并且默认为 粒子（如电子）是一个接近于点粒子的“客体”，从而把波函数中的x看作是未测之 前的“点粒子坐标”同时波函数中的 则被认为是粒子（在未测之 就有)的“多 量”。以Bohr和He g为代表的哥本哈根学深不同意上述看法，他们已开始 接受东方哲学的精神。我想我们应该比哥本哈根观点走得更远，明确以下两个基 本的认识论现点： (1)客体在未被测量之前，本不含任何信息（包括x ,E等等) (2)测量过程不是一种“反陕”过程，而是 种 过程 在此过程中主 体通过仪器作用于客体 共同制造出信息来。 个物理量在QM中要化为算符 正是两个认识论原理（相对性原理和变革性原理）的严格数学表述，如式(6)所示。 东方哲学从老子“道可道，非常道：名可名，非常名”以及孔子编的大学·礼记) 中关于”格物致知的论述开始，一直有上述观点。公孙龙对离坚白”命题的论辩 也是一个出色的范例。毛泽东在（实践论》中把“格物”作“变革”解释，又进一步

学习量子力学五十年—“”与之诚 ·147 与科学实验联系起来 带着这样的想法，我一直在等待有新的实验可以作为佐证。1998年、一个出 色的“Whi©hWay(wW)"实验发表了，Durr等三位作者通过对低温下中性原子 的双缝干涉”分析，指出原子走“那一条路(WW)”的信息是通过微波对原子内部 超精细能级的相互作用而存贮起来并读出的，微波对原子质心运动的动量()和 位置(x)的影响微不足道。然而一旦有了WW信息，干涉条纹立即消失。这似平 意味着测不准关系式(5)不复成立（即△p与△：的乘积将小于专）！ 我一看到这个实验及其结果的各种讨论，喜出望外，结合自己多年思考，对测 不准关系的理解便可以用一张图来说明，见图1（引自文献[34]494页）。 图1测量A(B)作为一种操作手段（用实线一表示）施变革于 示)产生出 数a(b),但若A与B不 对b(B对a》使成为一种干找（用波纹 线表示) 按照我们的观点，WV实验中既没有去测量原子质心的动量或位置，相应之 力或x的信息根本不存在，既然如此，我们便不必为相应之测不准关系式(5)感到 担心。事实上，作者他们自己写出了与他们实验中测量的量对应的测不准关系，其 含义正如图1所示 4波函数是虚拟测量的概率幅 有了上述“信息来自变革”的观点，我们马上面对一个同样尖锐的间题：在式 (2)的波函数中，在未测量之前，不是早已写出了p和x吗？它们是什么意思呢 难道不是粒子的动量和位置吗 看来，有时俟我们大家对数学的严格性还是重视不够。让我们仔细领会Drac 的理论，他写下波函数的严格记号是

·148 量子力学朝花夕拾一救与学篇 x,)=(红， (7 量子态矢|)在Heisenberg绘景中慨不含x,甚至也不含1，(x,t)都是被包合在 “位置基矢”[x,〉之内。过去我们只把这一表达形式看作是一种数学技巧，其实 兰右章客紧。我们应当但」工)看作是代表了测量位置x的“虚拟仪器”，它与 客体 )的相互作用，在数学上表现为 并”)，在物理上便称为波函数。波函数含有看不见的，正表示这一仪器是“虚拟 的而非真实的。 在一本Helbert写的书l中，他称(x,t)为ossibility wave心，我觉得妙极了， 这一名称很有启发性，我仿照他写出 :t:. 1(,)2=1p 当查英文辞奥时，我才了解那里对probable"的解释说它比 le”所指的可能 性大，例句知："Rain is possible but no pobabe before evening”,我想不妨更进一 区分它们：ossbility只预告潜在的(potential)“可能性”，而probability则是指实际 (rea)测t时才出现的概率。 我们讲一一步问.“潜在的可能性”为什么要用复的被的数b(工，】亮表示呢 回答是它表示了客体》与虚拟仪器】 ,》在(x, )点相互作用的“矛盾场 用中国哲学的术语来说，矛盾着的双方叫做“阴”和“阳”，它们恰好对应于如式(2) 所示波函数的虚、实两部 9=Re+ilm (8】 注意，R中和Im必都是实函数，它们只是苹i的引入而被区分开来。阴和阳的区 别不过是相对的，这一点可以通过一个规范（相位）变换看出 →=e"p=Rep+ilmg (9) 其中 (10) Im. 正交变换（矩阵）保证可观察的概率（密度）在变换下保持不变 1b12+52=1西2 (11 也许有读者会问：既然有式(11)的不变性，我们为什么又需要看不见的波函数中， 而再分为看不见，又灵活互变的嘘、实两部 回答是它反陕了事物（及其运 动)的本质（终极原因）不是什么“不可再分的点粒子"”，而是“矛盾”。矛盾双方既对 立又互相转化，从内部推动粒子的运动，这一思想在中国的太极图中表现得十分形 象化（见图2）。这张图大概是宋代周敦厥(1016一1073)发明的，现在被用在裤国 国旗上。N.Br对它也十分赞赏，选它用在他宗族的族徽上，并加上一句话 “Oppositesare complementary"(对立即互补)

学习量子力学五十年一中与”T之谜 ·149 假我们发挥想象力，太极图既可 顺钟向转动，也可反钟向转动，相当于式 (2)中i改为(-i),问粒子的性质有什么 变化？这一问题将在第5节以后讨论。 现在我们进一步讨论QM中的认识论和 方法论问题。 首先，我们知道，对同一个量子态 ),除位形空间(x表象)波函数式(7) 外，还可以写出动量空间(p表象)波函 数如下 Φ(D.t)▣(b,tb(12) 仪器” 个1可以同时写出式 图2太极图 (亿)和(12)，这表示测量不过是虚拟的，黑，白两色代表阴和阳此图不停地绕中心轴旋转 客体状态的量子相干性并未受到破坏 各种矛盾不过是各种虚拟的相互作用 它们既看不见，此也不相排斥，在我们精是内某如果有力外场.色 看来，这正是QM为什么在 本质上是 是外因通过内因术能起相的 种线性理论的原因。矛盾仅当它们处于 实际转化状态中的时候，才是看得见和相互排斥的（这一点表现在“二次量子化”后 的粒子产生和湮灭算符所满足的Fo©k方程，一般是非线性的了) 其次，式(7)或(12)中所包含的 r或p, 本来是常分材 才能从实验中 象出来的概 在却被预先引入到波函数之中，成为理论演绎过程中极重要的 环，并在求解动力学方程之后预告实验中将会出现什么样的可观察量及其相应的 概率。这应当看作是把历史上原本分开的分析归纳法和演绎法在更高水平上的融 合和发展，它使得QM成为一种科学的、可以定量地作计算的矛盾理论，从而把人 在认识客观世界中的主观能动性充分地发挥出来了 让我们夹看2000年发表的 “薛定谔猫态"实验1s,Friedman等仔细地否 究了低温下 ”超导球子十步仪(SQUD)”中的环形电流写环内酸通量之间的 关系，我们不妨用简化的记号写下此体系的量子态为 |〉=C。|,)+C》 (13) 其中，》和中，》就简单地代表了“顺钟向”和“反钟向”的“电流态”，它们的波 函数也不妨分别简化为平面波形式 (x4)=ex即[(r-E)]

·150· 量子力学朝花夕拾—教与学始 红1，）=em[货(-加-B] (14) 注意，这里的坐标x代表他们实验中（环内）的磁通量。 当1C,1>1C,宏观上只存在懒钟向环形电流，然而用微波吸收实验及其分 析表明，此时微观上由C,≠0所表征的反钟向电流态确实存在，它相当于有多达 10”个电子(Cor对)在反方向运测！因此这个实验被认为是在宏观上实现了 1935年薛定谔提出的“活猫与死猫共存”的量子态6，经过各种报刊杂志的宜传， 在公众中引起了强烈的兴趣。 像其他领域中的向题一样，矛盾越尖锐，就越接近解决的时候了。在我们看 来，薛定谔猫越变越大，而QM越算越正确，正表明我们大家过去对量子态和波正 数的理解都太实体化了 找 为了弄清楚这个误解的起源，我经过多年反复思考，终 一个野喻和一张图4。 假设有一个大公司，由分为甲、乙两方的雇员持股，持股为51%的甲方，其经 营思想是“企业应向东发展”，而持股为49%的乙方则主张“应向西发展”。于是董 事会决议，按控股方意见 成员思相 ,企业一律实行“向东发展”的经营方针。虽然有49%的 并不通，在行动上全体成员是步调一致的。然后突然由于某种原因，乙 方持股上升为51%（甲方下降为49%），于是全体成员马上一齐“ 西走”了。 这个例子说明，经营思想的不同是一种隐藏的“矛盾”，在一个统一的企业内部 是不可避免的，但在同一时间内、 不 在实际上明显地表现为两种方向相反的经营 行为。还要注意，每 因为任 一方的意见本身也是“矛盾”（必须申述有利条件和不利条件） 的教益之 一种合理的思想都必须是对立的统一。这是几千年哲学留给我们最宝贵 现在式(13)也是一样，当1C1>1C,时，仍把|中，)说成是隐藏的“反钟向 电流态”，那是把隐性的 (虚的)东西（如思想）误看成是显性的（实的）东西（如行为） 了。事实上，中，)要显示它自已，即表现为实际的反钟向电流，必须有 1C,>C。的条件，而那时|，》又由显变隐了（顺钟向电流立刻消失，突变为反 钟向电流)。 我猜想薛定谔在1935年把“死猫-活猫”作为一个佯逐提出来的时候，已隐约 地感到问题的症结所在，因为他说过一-段话（见文献[10]373页） 不知不觉中.我们就把认识主体从我们力求理解 的自然领域内排除了，我 们回到了一个旁观者的角色，不属于这个世界，而这个世界通过这一步就变成了 一个客观的世界。（我们的）科学是建立在客观的基础上的，依靠这个办法，科学就 把自己同.对心灵的适当理解割裂开来。但是我的确相信这正是我们现在的思 维方式需要修补的地方，也许得从东方的思想中吸取营养。” 著名物理学家】.Wheeler i说：“没有一种只讨论物理的物理学理论能够解释物

学习量子力学五十年一与广之城 151· 理学。我相信随着我们继续不断地试图理解字宙，我们同时也在试图理解人。物 世界是在某种深刻的意义下同人类连在一起的，以某种奇特的方式，这个字宙是 个让人参与的字宙。”（文献[10365页）。 耗收结构理论的创立者，比利时科学家普利高津于1998年为他的《确定性的 终结》一书中文版作序时指出：“西方科学和西方哲学一贯强调主体与客体之间的 二元性，这与注重天人合一的中国哲学相悖。” 在QM中“天人合一”是以何种“奇特的方式“来实现的呢？请看下面图3（写 自文献[14])。 自在之物 各种量 起来，而量子力学则正好与之平行地工作（虚线表示看不见的东西 此图中，“自在之物“不含信息的思想来自康德哲学（这一点同古老的东方哲 可说是殊途同归的)。康德正确地指出了，倘若把自在之物与作为“为我之物”的现 象混为一谈，便不可避免地使物理世界变得不可能被认识。我们不能不被康德思 想的深刻性所折服。 06 图4一个矢量了在二维空间坐标系上的投影，和 是沿x轴和y轴的单位矢量，面V-,立，=， 让我们转到数学。请看图4，那里在二维空间的一个矢量又，在抽象意义上只 表示空间存在一个有方向的几何客体，寸本身并不包含什么数字。但为了具休地 表示它，便必须引入一个坐标系，并取沿x轴和y轴的两个单位矢量：，和亡，然

·152 量子力学朝花夕拾一教与学篇 后再取下沿x(或y)轴的投影，即由了与正，（或，）的“标积”，得到 v,-,V,=,. (15) V或V,就是一个数字（不再是“矢量”）了。 作为下的具体表示，V,或V,的大小是与坐标系的选取有关的。例如，图上 从xy坐标系转过一个角度而得到一个新的坐标系x'y',相应地便有另外的V, 和V,两个投影值。然而原来的了却是同一个矢量，并可记为 v=V.i+vi,=vi,+vi (16) 此式表示，节作为 一个儿何客体的客观存在是不依櫠于坐标系的主观选取的，但 它的各种表示则相对于坐标系而取各种 的目休形式 请读者注意式(15)与(7)之间的相似性。我们不能不佩服数学家再一次走在 物理学家的前头。他们早已认识到把几何客体的客观存在与它的具体表示严格 区分开来的必要性，而我们在过去却常常把这两者混为一谈，即误认为“表示”就是 “客观存在”本身。 5CT定理实际上已变成一个基本假设 1956一1957年字称不守恒发现后好几年，我才逐步懂得它的伟大历史意义 过去认为空间是左右对称的，即物理基本规律对空间反演变换(一一)是不变 的，这导致字称守恒定 现在发现有中微子参与的弱相互作用过程（如B衰变） 中字称不守恒了，而其原因可归之于中微与 的运动 学木性 它们是永久纵向授 化的：中微子永远左旋()，反中微子则永远右旋（可） 这已为 lnr的 实验所证实”。在当时中微子质量被认为是零，它们永远以光速运动，所以可保 持其永久纵向极 (蝶旋度)性质。简言之，当时的理论和实验一致认定字称破坏 达到极大（中微子是100%地左右不对称的），同时C反演（电荷共轭变换，即当时 的正反粒子变换)也1O0%地被破坏了（→可，→，但自然界不存在D1与 不久之后，即1964年，从中性K介子衰变中又发现了CP联合反演不守恒，我 马上又不懂了。因为实验发现不守恒的程度只有约0.3% 而根据CT定理（它 一直保持正确)，CP反演等价于T反演。C或P反演作为一个分立（离散，击 crete)变换，守恒（对称）或100%地不守恒（反对称，),都是很好理 的。但T反演 所谓“时间反演”)也是分立变换，居然只破坏到0.3%（不对称， asymmetric),实在令人费解。我从 开始就怀疑是T反演的定义有向题，在QM 中它是根据薛定浮方程式(3)在时间反演下不变的要 求而定义的。由于单独 ·:变换使方程变掉。于是，再作一个复共轭变换把方程变同来，这意味宥波函数 在“时间反演T作用下的变换是