《医学物理学》课程教学资源（习题解答）稳恒电流磁场习题

第十章稳恒电流的磁场 基本要求 一、理解磁感应强度、磁通量、磁矩等概念。 二、掌握反映稳恒电流磁场特性的两个基本定律，即高斯定理和 安培环路定理。 三、掌握运用毕奥一萨伐尔定律和安培环路定理求载流导体周围 磁场的基本方法。 四、掌握洛仑兹公式和安培定律，并能运用它们计算运动电荷和 载流导线在磁场中所受的力以及载流线圈在磁场中所受的磁 力矩。 五、掌握载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力做功的计算 方法。 内容提要 一、磁感应强度B 磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场 力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式) 定义。 例如从安培力的角度，B定义为单位电流元在该处所受的最 大安培力。 dF安)se B= 二、磁力线磁通量 磁力线的特征1.闭合曲线：2.与电流相互套连：3.方向 与电流的方向服从右手螺旋定则。 152

152 第十章 稳恒电流的磁场 基 本 要 求 一、理解磁感应强度、磁通量、磁矩等概念。 二、掌握反映稳恒电流磁场特性的两个基本定律，即高斯定理和 安培环路定理。 三、掌握运用毕奥—萨伐尔定律和安培环路定理求载流导体周围 磁场的基本方法。 四、掌握洛仑兹公式和安培定律，并能运用它们计算运动电荷和 载流导线在磁场中所受的力以及载流线圈在磁场中所受的磁 力矩。 五、掌握载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力做功的计算 方法。 内 容 提 要 一、磁感应强度 B 磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场 力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式） 定义。 例如从安培力的角度， B 定义为单位电流元在该处所受的最 大安培力。 ( ) Idl dF B 安 max = 二、磁力线 磁通量 磁力线的特征 1. 闭合曲线；2. 与电流相互套连；3. 方向 与电流的方向服从右手螺旋定则

磁通量的定义式 dΦnm=B.dS =B.ds 三、磁场的基本规律 1、毕一萨定律 dB=ldx r2 真空磁导率4。=4π×10-7T·m/A 磁介质的相对磁导率4， 磁介质的绝对磁导率（简称磁导率）“=4.4， 2、叠加原理 B=∑B， B=dB 利用毕一萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场 分布。 3、B的高斯定理（磁通连续方程） B·dS=0 4、安培环路定理 真空中 fBdl=h∑I内 有磁介质时H·d=∑1 153

153 磁通量的定义式 dΦm = B  dS  =  S Φm B dS 三、磁场的基本规律 1、毕⎯萨定律 2 0 4π r Id d l r B  = 真空磁导率 4 10 T m/A 7 0 =   −   磁介质的相对磁导率  r 磁介质的绝对磁导率（简称磁导率） μ =  0 r 2、叠加原理 =  i B Bi ，  B = dB 利用毕⎯萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场 分布。 3、 B 的高斯定理 (磁通连续方程)   = S B dS 0 4、安培环路定理 真空中   d = I内 L 0 B l 有磁介质时   d =I L H l

B=uH 四、几种典型电流的磁感应强度 一段载流直号线日=女二ecs响-cs肉) 无限长载流直导线B=4 无限长均匀载流薄圆筒B购=0，Bw=」 2r 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环B,=4ol,B外=0 员电流图的圆心和轴线上R。一发A一之任产 uoIS 五、磁力公式 1、运动电荷所受的磁场力（洛仑兹力）∫洛=q×B 2、电流所受的磁场力（安培力） 电流元所受的磁场力dF=Id×B 电流L所受的磁场力F=「Id×B 3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩 载流线圈的磁矩Pm=S 载流线圈受的磁力矩M=Pm×B 154

154 B =μ H 四、几种典型电流的磁感应强度 一段载流直导线 ( ) 1 2 0 cos cos 4 =  −  π r μ I B 无限长载流直导线 π r μ I B 2 0 = 无限长均匀载流薄圆筒 π r μ I B B 2 0, 0 内 = 外 = 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 B内 =μ0nI,B外 = 0 圆电流圈的圆心和轴线上 ( ) 3 2 2 2 0 轴线 0 2 2 / π R x μ IS B R μ I B + 中心 = ， = 五、磁力公式 1、运动电荷所受的磁场力(洛仑兹力) f洛 = qv B 2、电流所受的磁场力（安培力） 电流元所受的磁场力 dF = Idl  B 电流 L 所受的磁场力  =  L F Idl B 3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩 载流线圈的磁矩 pm = IS 载流线圈受的磁力矩 M = pm  B

解题方法与例题分析 一、运用毕一萨定律和叠加原理，求磁感应强度B 解题思路：先将载流导线分割成电流元，任一电流元在空间 某点产生的磁感应强度用dB表示，根据场的叠加原理求得整个导 线的磁感应强度B=「dB。解题时，要选择适当的坐标系，把矢 量积分B=「dB化为分量式，统一变量，确定积分限再积分。 如果载流导线由几个电流组成，则载流导线的磁感应强度是 几个电流产生的磁感应强度的叠加，即B-∑B,这种方法叫叠 加法。因此，必须记住典型电流的磁感应强度B的公式，明确公 式中各个字母的确切涵义。 例1如图10一1所示，求O点的磁感应强度B。 解无限长直导线在O点的磁感应强度大小为 A一然（方向季直纸面向里） 圆环在O点的磁感应强度大小为 B,=(方向垂直纸面向里) 2R O点的磁感应强度的大小为 例10一1 B:8+及一欲+货（方向蚕直纸面向里） 例2在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方 向引到很远的电源上，求环中心处的磁感应强度。 解如图10一2所示的电流系统在环中心处O点激发的磁感 应强度，为如图所示的五段电流所产生的磁感应强度的叠加。O 155

155 解题方法与例题分析 一、运用毕⎯萨定律和叠加原理，求磁感应强度 B 解题思路：先将载流导线分割成电流元，任一电流元在空间 某点产生的磁感应强度用 dB 表示,根据场的叠加原理求得整个导 线的磁感应强度  B = dB 。解题时，要选择适当的坐标系，把矢 量积分  B = dB 化为分量式，统一变量，确定积分限再积分。 如果载流导线由几个电流组成, 则载流导线的磁感应强度是 几个电流产生的磁感应强度的叠加，即 =  i B Bi ，这种方法叫叠 加法。因此，必须记住典型电流的磁感应强度 B 的公式，明确公 式中各个字母的确切涵义。 例 1 如图 10—1 所示，求 O 点的磁感应强度 B 。 解 无限长直导线在 O 点的磁感应强度大小为 R I B   2 0 1 = （方向垂直纸面向里） 圆环在 O 点的磁感应强度大小为 R I B 2 0 2  = （方向垂直纸面向里） O 点的磁感应强度的大小为 R I R I B B B 2 2 0 0 1 2    = + = + （方向垂直纸面向里） 例 2 在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导线沿半径方 向引到很远的电源上，求环中心处的磁感应强度。 解 如图 10—2 所示的电流系统在环中心处O 点激发的磁感 应强度，为如图所示的五段电流所产生的磁感应强度的叠加。O I I 例 10—1 ·o

点在直电流IE与IB所在延长线上。 BAE=BEB=0 又O点离IF很远，此电流的磁场可不 计。 I1电流在O点的磁场 图10一1 8=绘偎的 4πR B的方向⑧ 2电流在O点的磁场 绘兽验 4πR1 B的方向⊙ 由电阻定理知，ACB和ADB的电阻R1和R2与其长度L1和 L2间有 又R和R2并联，故有R1=R22 8=8-4=微4-44=0 即环中心处的磁感应强度为0。 例3在y平面内，有一宽度为 L的“无限长”载流薄金属板，沿x方 向单位长度上的电流（线电流密度） 为6。试求： (1)x轴上P点的磁感应强度 的大小和方向： 图10一3 156

156 点在直电流 IAE 与 IFB 所在延长线上。  BAE = BFB = 0 又 O 点离 IEF很远，此电流的磁场可不 计。 I1电流在 O 点的磁场 2 1 0 0 1 1 4 R I dl B L =     2 0 1 1 4 R I L   = B 的方向  I2电流在 O 点的磁场 2 2 0 0 2 2 4 R I dl B L =     2 0 2 2 4 R I L   = B 的方向⊙ 由电阻定理知，ACB和ADB的电阻R1和R2与其长度 L1 和 L2间有 2 1 2 1 L L R R = 又 R1和 R2并联，故有 R1I1=R2I2  B = B1 − B2 ( ) 0 4 2 1 1 2 2 0 = I L − I L = R  即环中心处的磁感应强度为 0。 例 3 在 xy 平面内，有一宽度为 L 的“无限长”载流薄金属板，沿 x 方 向单位长度上的电流（线电流密度） 为 δ。试求： （1）x 轴上 P 点的磁感应强度 的大小和方向； C 2 I − + 1 I A B R O D E F 图 10—2 y x d o L P dx 图 10—3

(2)当d>>L时，结果又如何？ 解(1)此题可用典型电流的磁场的叠加计算，把薄板分成 宽dx的无数窄长条，每一个窄长条可视为无限长直导线。在x 处取宽度为dx的无限载流窄长条，其电流为 dⅡ=k 在P点的磁感应强度为 dB=4odl12π(L+d-x)=4/2π(L+d-x) 方向：☒ 整个载流金属板在P点的磁场为 B=∫aB=62zt+d-2 Hoodx d 方向：⑧ L、L(L1d2(L1d)3_ (2)当a>L时，h1+台=a-2 3 B=义 2πd 例4有一闭合回路由半径为a 和b的两个同心共面半圆连接而成， 如图10一4所示，其上均匀分布线密 度为入的电荷。当回路以匀角速度⊙ 绕过O点垂直于回路平面的轴转动 时，求圆心O点处的磁感强度的大小。 解B=B1+B2+B 图10-4 B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小 半圆线圈转动产生的磁感应强度，B3为带电线段b一ā转动产生 的磁感应强度。 11=ob,B=-,ob- 2π 2b 2b2π 4 157

157 （2）当 d >> L 时，结果又如何？ 解 （1）此题可用典型电流的磁场的叠加计算，把薄板分成 宽 dx 的无数窄长条，每一个窄长条可视为无限长直导线。在 x 处取宽度为 dx 的无限载流窄长条，其电流为 dI = dx 在 P 点的磁感应强度为 / 2 ( ) 0 dB =  dI  L + d − x / 2 ( ) 0 =  dx  L + d − x 方向： 整个载流金属板在 P 点的磁场为  B = dB  + − = L L d x dx 0 0 2 ( )   d d + L = ln 2 0    方向： （2） 当d  L 时， ln(1 ) d L + = − + −    3 ( / ) 2 ( / ) 2 3 L d L d d L d L B    2 0  = 例 4 有一闭合回路由半径为 a 和 b 的两个同心共面半圆连接而成， 如图 10—4 所示，其上均匀分布线密 度为 λ 的电荷。当回路以匀角速度 ω 绕过 O 点垂直于回路平面的轴转动 时，求圆心 O 点处的磁感强度的大小。 解 B=B1+B2+B3 B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小 半圆线圈转动产生的磁感应强度，B3为带电线段 b－a 转动产生 的磁感应强度。   2 1 b Ι = ， b Ι B 2 0 1 1  =    2 2 0  = b b 4 0 = O a b 图 10—4

1:=Toa B.=Hozhoa Hoko 2π 2a·2π 4 .B=B2=4o/4 dl3=2odr/2π） 学治：会名 2π a B=A+a+B=2气+h9 例5一半径为2的带电薄圆盘，其中 半径为R的阴影部分均匀带正电荷，面电荷 密度为：其余部分均匀带负电荷，面电荷密 度为-0。当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆 盘中心点O的磁感应强度为0，问R与2 满足什么关系？ 图10-5 解当带电圆盘转动时，可看作无数个 圆电流的磁场在O点的叠加，半径为，宽为dr的圆电流 dI=o2mrdro/2n=oordr 磁场 dB=uodI/2r =uooodr/2 阴影部分产生的磁场感应强度为 8-34a-47a8 2 其余部分且=收4oa-4o0民-R) 已知B=B,则有R=2R 二、用安培环路定理求磁感应强度 解题思路：先对磁场的对称性进行分析，选择适当的闭合回 158

158   2 2 a Ι = ，    2 2 0 2  = a a B 4 0 =  B1 = B2 =  0 4 2 (2 ) dΙ 3 = dr dr r B b a =     2 2 2 0 3 a b ln 2 0    = B=B1+B2+B3       = + a b ln 2 0     例 5 一半径为 R2的带电薄圆盘，其中 半径为 R1的阴影部分均匀带正电荷，面电荷 密度为 σ；其余部分均匀带负电荷，面电荷密 度为–σ。当圆盘以角速度 ω 旋转时，测得圆 盘中心点 O 的磁感应强度为 0，问 R1与 R2 满足什么关系？ 解 当带电圆盘转动时，可看作无数个 圆电流的磁场在 O 点的叠加，半径为 r，宽为 dr 的圆电流 dI=σ·2πrdrω/2π =σωrdr 磁场 dB = μ0dI/2r =μ0σωdr /2 阴影部分产生的磁场感应强度为  + = 1 0 0 2 R 1 B  dr 2  0R1 = 其余部分 ( ) 2 1 2 2 1 1 − =  0 = 0 2 − 1 R R B  dr   R R 2 1 已知B+ = B− ,则有R = 2R 二、用安培环路定理求磁感应强度 解题思路：先对磁场的对称性进行分析，选择适当的闭合回 图 10—5 R1 R2 O

路（规定闭合回路绕行正方向）使B能从积分号中提出，所选的 闭合回路必须满足下列条件： 1.闭合回路必须通过待求磁感应强度的那一点： 2.闭合回路上各点的磁感应强度大小相等，方向与回路上该 点的切线方向一致。或者回路上一部分满足上述条件，而其他部 分的磁感应强度等于0或与回路垂直，使这部分回路上各处 B·dl=0 例6如图10一6所示，一均匀密 绕的环形螺线管，匝数为N,通电电流 为1，其横截面积为矩形，芯子材料的 磁导率为，圆环内外半径分别为R 和R2,求： (1)芯子中的B值和芯子截面磁 通量。 (2)在R2处的B值。 图10一6 解(1)由安培环流定理 Hdl=H.2=NI :.H=NI 8=出=欲 4.=∫BdS=n 2πR 由安培环路定理知，在R处 H=0.B=0 例7如图10一7所示，有一很长的同轴电缆，由一圆柱形 导体（半径为n)和一与其同轴的导体圆筒（内外半径为2、乃） 组成。电流I从一导体流进，从另一导体流出，电流都是均匀的 分布在导体横截面上，求： (1)磁场强度的分布： (2)通过横截面（图中阴影区域）长度为1的磁通量。 159

159 路（规定闭合回路绕行正方向）使 B 能从积分号中提出，所选的 闭合回路必须满足下列条件： 1. 闭合回路必须通过待求磁感应强度的那一点； 2. 闭合回路上各点的磁感应强度大小相等，方向与回路上该 点的切线方向一致。或者回路上一部分满足上述条件，而其他部 分的磁感应强度等于 0 或与回路垂直，使这部分回路上各处 B  dl = 0 例 6 如图 10—6 所示，一均匀密 绕的环形螺线管，匝数为 N，通电电流 为 I ，其横截面积为矩形，芯子材料的 磁导率为 ，圆环内外半径分别为 R1 和 R2 ，求： （1）芯子中的 B 值和芯子截面磁 通量。 （2）在 rR2处的 B 值。 解 （1）由安培环流定理 H dl H r NI L  =  =  2 r NI H 2  = ， R NI B H    2 = =   m = B  dS 1 2 ln 2 R NIb R   = 由安培环路定理知，在 rR 处 H = 0  B = 0 例 7 如图 10—7 所示，有一很长的同轴电缆，由一圆柱形 导体（半径为 r1）和一与其同轴的导体圆筒（内外半径为 r2 、r3） 组成。电流 I 从一导体流进，从另一导体流出，电流都是均匀的 分布在导体横截面上，求： （1）磁场强度的分布； （2）通过横截面（图中阴影区域）长度为 l 的磁通量。 b R1 R2 o 图 10—6

解(1)设电缆为“无限长”，由于磁场分布的对称性，可用 安培环路定理计算该磁场分布。以截面与轴的交点为圆心、为 图10-7 半径作圆。取此圆为闭合回路，绕行正方向如图所示。此回路上 H的大小相等，方向与圆相切，根据安培环路定理有 fHd=∑1 fHl=H-2m·H= 2n ①当05时：∑1=1-1=0.H=0 (2)阴影区域内各点的磁场强度H都与该区域截面正交， 则通过该区域内的磁通量为 160

160 解 （1）设电缆为“无限长”，由于磁场分布的对称性，可用 安培环路定理计算该磁场分布。以截面与轴的交点为圆心、r 为 半径作圆。取此圆为闭合回路，绕行正方向如图所示。此回路上 H 的大小相等，方向与圆相切，根据安培环路定理有  H  dl =I ∵  H  dl = H  2r ∴ r I H 2  = ①当 0 1  r  r 时，闭合回路所包围的电流为 I r r r r I I 2 1 2 2 2 1  =  =  ∴ 2 2 1 r Ir H  = ②当 1 2 r  r  r 时 ∵ I = I ∴ r I H 2 = ③当 2 3 r  r  r 时 ∵ ( ) 2 2 2 2 2 2 3 r r r r I I I − −  = − ∴ (1 ) 2 2 2 2 3 2 2 2 r r r r r I H − − = −  ④当 3 r  r 时 ∵ I = I − I = 0 ∴ H = 0 （2）阴影区域内各点的磁场强度 H 都与该区域截面正交， 则通过该区域内的磁通量为 图 10－7 l

=8=川s=广a=仙=年 例8一对同轴的无限长空心导体圆筒，内、外半径分别为 R和R2(筒壁厚度可以忽略不计)， 电流I沿内筒流去，沿外筒流回， 如图10一8所示。 (1)计算两圆筒间的磁感应强 度： (2)求通过长度为1的一段截 图10-8 面（图中的斜线部分）的磁通量。 解(1)由安培环路定理fB·d=B2m=4,l B=Hol 2m (2)在截面上r处，取宽为dr,长l的窄条，其面积dS=ldr, 则 do=B.ds =4o.ldr 2m 6唤-经中0是 三、求磁力、磁力矩和磁力的功 1.求磁场对载流导线的作用力，先用安培定理计算导线上任 一电流元所受的作用力dF=Idl×B,再用力的叠加原理F=「dF 求得整个导线所受的力。 注意：如果导线上各电流元所受的作用力dF的方向不同时， 应选取恰当的坐标系把矢量积分F=「dF化为分量式： 161

161 1 0 0 2 ln 2 2 2 1 2 1 r Il r ldr r I Φ d BdS Bldr r r r r m     =  = = = =     B S 例 8 一对同轴的无限长空心导体圆筒，内、外半径分别为 R1和 R2（筒壁厚度可以忽略不计）， 电流 I 沿内筒流去，沿外筒流回， 如图 10—8 所示。 （1）计算两圆筒间的磁感应强 度； （2）求通过长度为 l 的一段截 面（图中的斜线部分）的磁通量。 解 （1）由安培环路定理  B  dl = B  r = I 2  0 r I B   2 0 = （2）在截面上 r 处，取宽为 dr，长 l 的窄条，其面积 dS =ldr， 则 d m = B  dS ldr r I =    2 0 r dr r Il d s R R m  m   = = 2 1 2 0     1 0 2 ln 2 R R r Il   = 三、求磁力、磁力矩和磁力的功 1. 求磁场对载流导线的作用力，先用安培定理计算导线上任 一电流元所受的作用力 dF = Idl  B ，再用力的叠加原理  F = dF 求得整个导线所受的力。 注意：如果导线上各电流元所受的作用力 dF 的方向不同时， 应选取恰当的坐标系把矢量积分  F = dF 化为分量式： I l 图 10—8 I