《大学物理》课程PPT教学课件（二）第17章 量子力学基本原理 17.3 波函数 薛定谔方程 17.4 薛定谔方程应用举例（一维问题）

同学们好! 入射波+反射波 透射波

同学们好！ o a U0 x 入射波+反射波 透射波 U

微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达, “波粒二象性”—借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验,避免借 用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解释, 是建立在基本假设之上的构造性理论,其正确性由实 践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态,波函数所 遵从的方程—薛定谔方程是量子力学的基本方程。 波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一

微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达， “波粒二象性”——借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借 用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解释， 是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实 践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一

§173波函数薛定谔方程 物质波的波函数及其统计解释 1.波函数:描述微观客体的运动状态,是概率波的 数学表达形式。 (F,)=Y(x,y,z,t)一般表示为复指数函数形式 例:一维自由粒子的波函数 经典描述:沿x轴匀速直线运动 量子描述:E,守恒;vλ确定 类比: 单色平面波 λ一定沿直线传播

例： 一维自由粒子的波函数 经典描述： 沿 x 轴匀速直线运动 量子描述： E p守恒；， 确定  , 类比： 单色平面波 ,  一定 沿直线传播 一、 物质波的波函数及其统计解释 1. 波函数： 描述微观客体的运动状态，是概率波的 数学表达形式。  (r,t) = (x, y,z,t)  一般表示为复指数函数形式 §17.3 波函数 薛定谔方程

以坐标原点为参考点, 设=0,波以速率沿+x方向传播 y=Yo cos o(t-)=Yo cos 2(vt E 0 COS 2 =yp =Yo cos(Et-prx h h/p (Et-prx Y(x, t)=yoe h (取实部) (Et-p.r) 推广:三维自由粒子波函数y(,1)=Yen

cos ( ) cos 2 ( ) 0 0        x t u x = t − = − cos 2 ( ) 0 h p x t h E =  − ( ) 1 cos 0 Et p x x = −    以坐标原点为参考点， 设 = 0，波以速率u沿+ x方向传播。 ( ) 0 ( , ) E t p x i x x t e − −  =    （取实部） 推广 ：三维自由粒子波函数 ( ) 0 ( , ) Et p r i r t e     − −   =

2.波函数的强度模的平方 yP2=.波函数与其共轭复数的积 例:一维自由粒子: ()P==e,e +-(Et-Pr.x) 3.波函数的统计解释 类 比 电子枪 屏蔽 平板 光栅衍射 电子衍射

2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 光栅衍射 电子衍射 类 比 2 * |Ψ | =Ψ Ψ 波函数与其共轭复数的积 例：一维自由粒子： ( ) 0 ( ) 0 2 * | ( , )| Et p x h i E t p x i x x Ψ x t Ψ Ψ Ψ e Ψ e − −  + −  =  =   2 = Ψ0

光栅衍射 电子衍射 I∝E Ⅰ=Mhv∝N I∝N 大处到达光子数多 电子到达该处概率大 小处到达光子数少 电子到达该处概率小 =0无光子到达 电子到达该处概率为零 各光子起点、终点、路各电子起点、终点、路径 径均不确定 均不确定 用I对屏上光子数分布用|2对屏上电子数分布 作概率性描述 作概率性描述

2 E0 I  2 I |Ψ| I = Nh  N I  N I大处 到达光子数多 I小处 到达光子数少 I=0 无光子到达 各光子起点、终点、路 径均不确定 用 I 对屏上光子数分布 作概率性描述 各电子起点、终点、路径 均不确定 2 用|Ψ | 对屏上电子数分布 作概率性描述 电子到达该处概率大 电子到达该处概率为零 电子到达该处概率小 光栅衍射 电子衍射

一般:t时刻到达空间r(xyz)处某体积d内的粒子数 dN∝N·| y.dv dN y(x,y,2,1)P=y.y*∞, N·dJ y(x,y,z,t)P的物理意义: >t时刻,出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 >t时刻,粒子出现在空间(xyz)点附近单位体积 内的概率 >t时刻,粒子在空间的概率密度分布

dN N |Ψ | dV 2    N V N Ψ x y z t Ψ Ψ d d | ( , , , ) | * 2  =   ➢ t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 ➢ t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 ➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布 2 |Ψ(x, y,z,t) | 的物理意义： 一般：t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数

注意:<①物质波的波函数不描述介质中运动 状态(相位)传播的过程, ②有意义的不本身,而是平, 概率密度,描述粒子在空间的统计分布 y:概率幅 ③重要的不是yP的绝对大小,而是y在空间各点 的相对大小(比值),cy和y描述同一概率波 ④y遵从叠加原理 =y+y y2=+华22=.*+华2平*+1**平 干涉项

 物质波的波函数不描述介质中运动 状态（相位）传播的过程,  有意义的不是Ψ本身，而是|Ψ | 2 ， | | : 2  概率密度，描述粒子在空间的统计分布  : 概率幅 注意：  的相对大小（比值）， 和 描述同一概率波 重要的不是 的绝对大小，而是 在空间各点 cΨ Ψ Ψ Ψ 2 2 | | | | Ψ遵从叠加原理  =1 +2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 | | =| + | =  *+  *+  *+ *  干涉项

4.波函数的归一化条件和标准条件 ①归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 dN dN N Iy dv Ndv NN ②标准条件 y是单值、有限、连续的 对微观客体的量子力学描述: 脱离日常生活经验,避免借用经典语言引起的 表观矛盾,将波粒二象性统一到一起

4.波函数的归一化条件和标准条件 粒子在整个空间出现的概率为1 1 d d d d | | d 2 =  = = =    N N N N V N V N V V V   归一化条件 对微观客体的量子力学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的 表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。 Ψ是单值、有限、连续的。  标准条件

二、薛定谔方程: 是波函数y所遵从的方程一量子力学的基本方程 是量子力学的基本假设之一,其正确性由实验检验。 1.建立(简单→复杂,特殊→一般) ①一维自由粒子的振幅方程 P (x, t =poe i(- x) Et et e eh =y(x). h 与驻波类比 式中:y(x)=We2x 振幅函数

二、薛定谔方程： 是波函数Ψ所遵从的方程— 量子力学的基本方程, 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）  一维自由粒子的振幅方程 Et i Et i p x i Et p x i Ψ x t Ψ e Ψ e e x e x x     − −  +  − − ( , ) = =  = ( ) 0 ( ) 0  式中： p x i x x e  =  0  ( )  振幅函数 与驻波类比