电子科技大学：《高等量子力学 Advanced Quantum Mechanics》研究生课程教学资源（课件讲稿）第三章 一般角动量理论

单 物理学院 School of Physics 求真求实 大气大为 第三章一般角动量理论 授课教师：邬劭轶教授

求真求实 大气大为 第三章 一般角动量理论 授课教师: 邬劭轶 教授

角动量的一般性质 若算符jx,jy,jz满足如下的对易关系： [ix,jy]=ihjz [iy,jz]=ihjx [iz,jx]ihjy 则算符j,jv,jz为三个分量的矢量算符称为角动量算符. 角动量的平方算符：2=说+诏+泾. 升降算符： j+=jx+功y 升算符 打=x-功=冲 降算符

角动量的一般性质 若算符𝑗𝑥,𝑗𝑦,𝑗𝑧满足如下的对易关系: [𝑗𝑥,𝑗𝑦] = 𝑖ℏ𝑗𝑧 [𝑗𝑦,𝑗𝑧 ] = 𝑖ℏ𝑗𝑥 [𝑗𝑧 ,𝑗𝑥] = 𝑖ℏ𝑗𝑦 则算符𝑗𝑥,𝑗𝑦,𝑗𝑧为三个分量的矢量算符𝑗 Ԧ称为角动量算符. 角动量的平方算符：𝑗 2 = 𝑗𝑥 2 + 𝑗𝑦 2 + 𝑗𝑧 2 . 升降算符：ቐ 𝑗+ = 𝑗𝑥 + 𝑖𝑗𝑦 升算符 𝑗− = 𝑗𝑥 − 𝑖𝑗𝑦 = 𝑗+ † 降算符

角动量的一般性质 不难证明，它们具有对易关系： [j2,ja]=0, a =x,y,Z Uz,jt]=±jt 以及 j+j--j-j+=2hjz j+j-+j-j+=202-j) jj年=j2-j径士2 由于j2和j2对易，它们具有共同的本征态，记为：m),满足： j2|2m）)=1h212m〉 jzl2m)=mhlλm〉

角动量的一般性质 不难证明,它们具有对易关系 : 𝑗 2 ,𝑗𝛼 = 0 , 𝛼 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗𝑧 ,𝑗± = ±ℏ𝑗± 以及 由于𝑗𝑧和𝑗 2对易,它们具有共同的本征态，记为: 𝜆𝑚 ，满足: 𝑗 2 𝜆𝑚 = 𝜆ℏ 2 𝜆𝑚 𝑗𝑧 𝜆𝑚 = 𝑚ℏ 𝜆𝑚 𝑗+𝑗− − 𝑗−𝑗+ = 2ℏ𝑗𝑧 𝑗+𝑗− + 𝑗−𝑗+ = 2(𝑗 2 − 𝑗𝑧 2 ) 𝑗±𝑗∓ = 𝑗 2 − 𝑗𝑧 2 ± ℏ𝑗𝑧

角动量的一般性质 下面由角动量的基本对易关系来求解角动量的本征值 1.首先利用关系 [j2,j+]=j2j+-j+j2=0 两边取矩阵元有： (2'm'j2j+-j+j212m）=0 利用关系j2|m）=1h21m)可以得到： (2'-)2'm'j+lm）=0 只有当'=λ时，矩阵元('mj+lm)才可能不为零

角动量的一般性质 下面由角动量的基本对易关系来求解角动量的本征值 1. 首先利用关系 利用关系 𝑗 2 𝜆𝑚 = 𝜆ℏ 2 |𝜆𝑚〉可以 得到： (𝜆 ′ − 𝜆) 𝜆 ′𝑚′ 𝑗+ 𝜆𝑚 = 0 𝑗 2 ,𝑗+ = 𝑗 2 𝑗+ − 𝑗+𝑗 2 = 0 两边取矩阵元有: 𝜆 ′𝑚′ 𝑗 2 𝑗+ − 𝑗+𝑗 2 𝜆𝑚 = 0 只有当 𝜆 ′ = 𝜆时, 矩阵 元 𝜆 ′𝑚′ 𝑗+ 𝜆𝑚 才 可能不为零

角动量的一般性质 类似地，因为[2，ja]=0,a=x,y,z.可以得到 (2'm'jal2m）=δ'a(2m'liaLλm） 另外，利用关系2，j+]=±j吐，对于给定的有： (2m'lizjt-j+jzlam）=±h(m'lj+lam〉 利用关系jzlm)=mhm)可以得到： (m'-m干1)h(2m'Uj+l2m）=0 只有m'=m+1时，矩阵元(m'j+l2m)才可能不为零。因此有： 'm'jtlm)=δ'a0m'mt1m±1jtl2m）

角动量的一般性质 类似地，因为 𝑗 2 ,𝑗𝛼 = 0, 𝛼 = 𝑥, 𝑦, 𝑧. 可以得到: 利用关系𝑗𝑧 𝜆𝑚 = 𝑚ℏ|𝜆𝑚〉可以得到： 𝜆 ′𝑚′ 𝑗𝛼 𝜆𝑚 = 𝛿𝜆 ′𝜆 𝜆𝑚′ 𝑗𝛼 𝜆𝑚 另外,利用关系 𝑗𝑧 ,𝑗± = ±ℏ𝑗±,对于给定的𝜆有: 𝜆𝑚′ 𝑗𝑧 𝑗± − 𝑗±𝑗𝑧 𝜆𝑚 = ±ℏ 𝜆𝑚′ 𝑗± 𝜆𝑚 只有𝑚′ = 𝑚 + 1 时,矩阵元 𝜆𝑚′ 𝑗± 𝜆𝑚 才可能不为零。因此有： 𝑚′ − 𝑚 ∓ 1 ℏ 𝜆𝑚′ 𝑗± 𝜆𝑚 = 0 𝜆 ′𝑚′ 𝑗± 𝜆𝑚 = 𝛿𝜆 ′𝜆 𝛿𝑚′𝑚±1 𝜆𝑚 ± 1 𝑗± 𝜆𝑚

角动量的一般性质 2.求解j的可能取值，利用关系[+，j-]=22,两边取矩阵元得到 (m'j+j--j-j+lm）=2mh2δm'm 插入单位元Σm“)m"|=1,我们只需要考虑m=m'的情况 ∑ mlj+m"m"j-lm）-(mj-Ilm")m"j+lm）=2mh2 m 再利用上面我们第一阶段的中结果，可以得到： (mlj+lm-1)(m-1lj-lm)-(mlj-lm+1)(m+1lj+lm)2mh2 利用j+=过可得(m山j+lm-1)=(m-1U-m)进一步将上式化简得到：

角动量的一般性质 2. 求解𝑗的可能取值,利用关系 𝑗+,𝑗− = 2ℏ𝑗𝑧 ,两边取矩阵元得到 再利用上面我们第一阶段的中结果,可以得到： 𝑚 𝑗+|𝑚 − 1〉〈𝑚 − 1|𝑗−|𝑚〉 − 𝑚 𝑗−|𝑚+1〉〈𝑚+1|𝑗+|𝑚〉 = 2𝑚ℏ 2 𝑚′ 𝑗+𝑗− − 𝑗−𝑗+ 𝑚 = 2𝑚ℏ 2𝛿𝑚′𝑚 插入单位元σ |𝑚“〉〈𝑚”| = 1, 我们只需要考虑𝑚 = 𝑚′的情况 ෍ 𝑚" 𝑚 𝑗+|𝑚"〉〈𝑚"|𝑗−|𝑚〉 − 𝑚 𝑗−|𝑚"〉〈𝑚"|𝑗+|𝑚〉 = 2𝑚ℏ 2 利用 𝑗+ = 𝑗− † 可得 𝑚 𝑗+|𝑚 − 1〉 = 𝑚 − 1 𝑗−|𝑚〉进一步 将上式化简得到：

角动量的一般性质 K(mlj+lm-1)12 K(m 1lj+lm)12 2mh2 令(mlj+lm-1）=mh,则上述关系可以表示为：2m-1l2-|几ml2=2m. 求解这个递推关系，可以得到： IIml2 c-m(m +1) 这里c为一常数.因为2m2≥0，设m的上限为mmax=jj的取值必须为的整数倍！

角动量的一般性质 求解这个递推关系,可以得到: 𝜆𝑚 2 = 𝑐 − 𝑚 𝑚 + 1 𝑚 𝑗+ 𝑚 − 1 2 − 𝑚 + 1 𝑗+ 𝑚 2 = 2𝑚ℏ 2 令 𝑚 𝑗+ 𝑚 − 1 = 𝜆𝑚ℏ,则上述关系可以表示为: 𝜆𝑚−1 2− 𝜆𝑚 2 = 2𝑚. 这里𝑐为一常数.因为 𝜆𝑚 2 ≥ 0,设𝑚的上限为𝑚𝑚𝑎𝑥 = 𝑗. 𝑗的取值必须为1 2 的整数倍！

9 角动量的一般性质 j=0,21,2 最后将|2m2表示为j和m的关系式为： 12m12=j0+1)-m(m+1)=0-m)0j+m-1)

角动量的一般性质 𝑗 = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, … . 最后将 𝜆m 2表示为𝑗和𝑚的关系式为: 𝜆m 2 = 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑚 𝑚 + 1 = (𝑗 − 𝑚)(𝑗 + 𝑚 − 1)