电子科技大学：《高等电磁场理论》课程教学资源（课件讲稿）第三章 波函数与格林函数

网 第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 标量波函数 矢量波函数 标量格林(Green)函数 并矢格林函数

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 矢量波函数 标量波函数 标量格林（Green）函数 并矢格林函数

第3章波函数与格林函数 名等电微场望论 §3.1标量基本波函数 讨论的问题： ·什么是标量波函数？ 常用标量波函数与特点？

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 § 3.1 标量基本波函数 讨论的问题: ⚫ 什么是标量波函数？ ⚫ 常用标量波函数与特点？

第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 ·什么是标量基本波函数？ 72y+k2yw=0 uw+Bi。-0 的基本解 S 标量波函数 平面波函数 球面波函数 柱面波函数

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 • 什么是标量基本波函数？ 2 2 0 ( ) 0 S k n       + =    + =    —— 的基本解 标量波函数 平面波函数 柱面波函数 球面波函数 V S n

第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 3.1.1平面波函数Ψ(x,y,2) dX(x）+k2X(x)=0 方程 owovWrkw-0 dx2 Ox2 0y2 Y()kY(y)=0 dy2 V(x,y,=)=X(x)Y(y)Z(z) d2Z(2)+k2Z(a)=0 dz? 其中：k?+k3+k=k2(kx、k,、k中有两个是独立的) 基本解 w(x,y,z)=h(k,x)h(ky)h(k_z) cosu,sin u 驻波解 h(u)= ‘,em 行波解

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 222 2 2 2 2 k 0 x y z    + + + =    方程 基本解 ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z  x y z h k x h k y h k z = 其中： 2 2 2 2 x y z k k k k + + = cos ,sin ( ) e , e ju ju u u h u −  =   —— 行波解 —— 驻波解 3.1.1 平面波函数  ( , , ) x y z （ k x 、 k y 、 k z 中有两个是独立的） 2 2 2 d ( ) ( ) 0 d x X x k X x x + = 2 2 2 d ( ) ( ) 0 d y Y y k Y y y + = 2 2 2 d ( ) ( ) 0 d z Z z k Z z z + =  ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z X x Y y Z z =

第3章波函数与格林國数 名等电微场望论 1、无界空间的基本波函数 kx、ky、kz取连续值，h(u)取行波解。 基本解 业(x,y,2)=A(kx,k)e1,+,*k:) =A(k,k )e 平面波 波矢量 其中：k=ekx+e,k+ek =k(e,sine cos +e,sine sin+e.cos) 中取不同的值，表示沿不同方向传播的平面波 般解(x,y,2)=J∬A(k,k,)edk,d, k W(x,y,z)的波谱或角谱

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论   k k 、 取不同的值，表示沿不同方向传播的平面波 一般解 ( , , ) ( , )e d d jk r x y x y  x y z A k k k k −  =   ( , , ) x y z 的波谱或角谱 1、无界空间的基本波函数 h u( ) x k 、 k y 、 k z 取连续值， 取行波解。 平面波 ( , )e jk r A k k x y −  = 基本解 ( ) ( , , ) ( , )e x y z j k x k y k z x y  x y z A k k − + + = 其中： x x y y z z k e k e k e k = + + ( sin cos sin sin cos ) x k k y k k z k = + + k e e e      波矢量 k x k y k z k k  k 

第3章波函数与格林函数 名等电微场理论 2、有界空间的基本波函数 飞x飞y、k取离散值，h(u)取驻波解。 例：矩形波导（α×b)中的标量基本波函数 x a 8'w a'w Ox2 y2 oW+kw-O 0z2 Ψmo(x,y,z)=sin(kmx)sin(kmy)e±.m Ψs=0 m元 元 TM波 三 =b (m,n=1,2,…） 8'w 6 Ox2 0z2 →Ψme(x,y,z)=cos(krmx)cos(k,my)eJka s=0 On m元 n元 Kxm 个三 (m,n=0,1,2,…) TE波 a

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 2、有界空间的基本波函数 h u( ) x k 、 k y 、 k z 取离散值， 取驻波解。 例：矩形波导 ( ) a b  中的标量基本波函数 x y z O b a 222 2 2 2 2 0 0 S k x y z     + + + =       =  222 2 2 2 2 0 0 S k x y z n     + + + =        =   ( , , ) sin( ) sin( )e zmn jk z mno xm yn  x y z k x k y  = π π , ( , 1, 2, ) xm yn m n k k m n a b = = = ( , , ) cos( ) cos( )e zmn jk z mne xm yn  x y z k x k y  = π π , ( , 0,1, 2, ) xm yn m n k k m n a b = = = ——TE波 ——TM波

第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 正交性 v. m'≠m,orn≠n ab/4,m'=m,and n'=n 0, m'≠，orn'≠n ab/2,m'=m=0,and n'=n+0 mme(xy,(x,y,dxdy= ab/2,m'=m≠0，andn'=n=0 ab/4,m'=m≠0，andn'=n≠0 v(.y.-)vi.(x.y.ayaxdy-0 me(x,y,W(xy,=dxdy=0 般解 (x,y,2)=∑Am84mmg(x,y2） m.n 各种可能存在的波型叠加

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 • 一般解 , ( , , ) ( , , ) mn mn m n e e o o   x y z A x y z =  • 正交性 各种可能存在的波型叠加 0 0 0, , ( , , ) ( , , )d d / 4, , and a b mno m n o m m n n x y z x y z x y ab m m o n n r           =     = =   0 0 0, , / 2, 0 and and a , 0 ( , , ) ( , , )d d / 2, 0, 0 / 4, 0, n d 0 a b mne m n e m m n n ab m m n n x y z x y z x y ab m m n n ab m m r n n o               = = =  =    =  = =      =  =    0 0 ( , , ) ( , , )d d 0 a b mno m n e   x y z x y z x y    =   0 0 ( , , ) ( , , )d d 0 a b mne m n o   x y z x y z x y    =  

第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 【例】矩形谐振腔(a×b×C)中的标量波函数 基本标量波函数 L cos(kmx)cos(ky)sin(k) —TE波 Ψmn1（x,y,z)= sin(km x)sin(ky)cos(kz)- TM波 m元 n元 l元 xm k1= a C 般解 y(x,y,z)=∑Any m(x,y,2） m,1n, 各种可能存在的波型叠加

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 • 一般解 , , ( , , ) ( , , ) mnl mnl m n l   x y z A x y z =  • 基本标量波函数 cos( ) cos( )sin( ) ( , , ) sin( )sin( ) cos( ) xm yn zl mnl xm yn zl k x k y k z x y z k x k y k z   =   各种可能存在的波型叠加 ——TE波 π π π , , xm yn zl m n l k k k a b c = = = x y z O b a c 【例】矩形谐振腔 ( ) abc   中的标量波函数 ——TM波

第3章波函数与格林國数 右等电微场理论 3.1.2 圆柱面波函数w(P,中，z) 1 方程 1 8w p=0—奇点 基本解 w(P,中，z)=R(p)Φ()Z(z) 则 dΦ +v2Φ=0→Φ()=h(vφ) 在周期性条件下，V=n d'Z dz2 +k2Z=0→Z(z)=h(k.z) D2d'R dR do? +p +(k3p2-v2)R=0一贝塞尔方程 dp k2+K2=k2 (k。kz中有一个是独立的)

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 k z               + + + =     方程 基本解       ( , , ) ( ) ( ) ( ) z R Z z = 则 3.1.2 圆柱面波函数    ( , , )z 2 2 2 z k k k  + = k （  、k z 中有一个是独立的） ——贝塞尔方程 2 2 2 2 2 2 d d ( ) 0 d d R R     k R    + + − = 2 2 2 d 0 d     + = 2 2 2 d 0 d z Z k Z z + = 在周期性条件下，  = n    ( ) ( ) = h ( ) ( ) Z z h k z = z  = 0——奇点

第3章波函数与格林函数 右等电微场理论 ★圆柱函数 dR dR +(k3p2-V2)R=0的解为圆柱函数，即 R(p)=B(kp) 其中：B(u)~J(u),N(u),H(u),H2)(u) v+2m J(u)=∑ 1)" 2 V.(u)= J,(u)cosvπ-J_v(u) S1nVπ H"(w)=J,(u)+jW,(u) H2(u)=J,(u)-jN,()

第 3 章 波函数与格林函数 高等电磁场理论 其中： R B k ( ) ( )   =   (1) (2) B u J u N u H u H u ( ) ( ), ( ), ( ), ( )      的解为圆柱函数，即 2 2 2 2 2 2 d d ( ) 0 d d R R     k R    + + − = (2) ( ) ( ) ( ) H u J u jN u v v v = − 2 0 ( 1) ( ) ! ( 1) 2 m m m u J u m m     +  = −   =   + +    ( ) cos ( ) ( ) sin J u J u N u        − − = (1) ( ) ( ) ( ) H u J u jN u v v v = + ★ 圆柱函数