电子科技大学：《高等量子力学 Advanced Quantum Mechanics》研究生课程教学资源（课件讲稿）第一章 量子力学的基本原理（邬劭轶）

高等量子力学 授课老师：邬昭劭轶教授 电子绅越女学 物理学院电子科技大学 2021年3月 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 高等量子力学 授课老师: 邬劭轶 教授 物理学院 电子科技大学 2021 年 3 月

第一章量子力学的基本原理 1.1引言 量子力学的诞生源于经典物理理论（宏观，低速）的危机，如黑体 辐射，固体比热 理论改进诞生了： 1.高速：相对论（狭义相对论，广义相对论） 口卡+日4三+1色，是QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第一章 量子力学的基本原理 1.1 引言 量子力学的诞生源于经典物理理论 (宏观, 低速) 的危机, 如黑体 辐射, 固体比热. 理论改进诞生了： 1. 高速：相对论 (狭义相对论, 广义相对论)

2.微观：量子力学 本课程主要介绍低速非相对论性的量子力学 口卡+日4三+1色，是QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 微观：量子力学 本课程主要介绍低速非相对论性的量子力学

1.2量子力学的基本假设 1.微观体系的状态由波函数山(，t)描述 微观系统的状态完全由体系的波函数描述，从波函数出发可以得到体系的 所有性质 波函数的统计解释：波函数的模方|妙（忙，t)2为粒子出现在空间位置7的 几率密度 2.力学量的算符表示 量子力学中的力学量可用厄密算符表示，并与经典力学的相关力学量相对 应 3.薛定谔方程 微观体系的波函数满足薛定谔方程：市O妙=H心，其中H为体系的哈密 顿算符H=-72+U(⑦ 4.态叠加原理 1,2,…中为体系可能所处的量子态，那么它们的线性叠加亚=q1+ c22十…+cn中n同样为体系可能处的态 4口404在·1老，生)QG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 量子力学的基本假设 1. 微观体系的状态由波函数 ψ(⃗r,t) 描述 微观系统的状态完全由体系的波函数描述, 从波函数出发可以得到体系的 所有性质. 波函数的统计解释: 波函数的模方 |ψ(⃗r,t)| 2 为粒子出现在空间位置 ⃗r 的 几率密度. 2. 力学量的算符表示 量子力学中的力学量可用厄密算符表示, 并与经典力学的相关力学量相对 应. 3. 薛定谔方程 微观体系的波函数满足薛定谔方程：i¯h∂tψ = Hψ, 其中 H 为体系的哈密 顿算符 H = − h¯ 2 2m∇2 + U(⃗r). 4. 态叠加原理 ψ1, ψ2, ....ψn 为体系可能所处的量子态, 那么它们的线性叠加 Ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ... + cnψn 同样为体系可能处的态

5.全同性粒子体系：全同性原理 全同性粒子体系中，任意两个全同粒子相互调换不改变体系的状态（不可 分辨性) 按交换两个全同粒子波函数变化的性质可以得到： 波函数对称→玻色子（比如光子，声子等） 波函数反对称→费米子.比如电子，质子等 口卡+日4三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 全同性粒子体系: 全同性原理 全同性粒子体系中, 任意两个全同粒子相互调换不改变体系的状态 (不可 分辨性). 按交换两个全同粒子波函数变化的性质可以得到: 波函数对称 → 玻色子 (比如光子, 声子等.) 波函数反对称 → 费米子. 比如电子, 质子等

描述宏观和微观体系的差异 宏观体系： 各个力学分量具有确定值，状态与力学量不可区分.如：位置 (t),动量(t),角动量L(t)等 微观体系： 体系的状态：用波函数少(，t)描述 力学量：一般无确定值，具有统计特征，应用算符来表示 口卡+日14三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 描述宏观和微观体系的差异 宏观体系： 各个力学分量具有确定值, 状态与力学量不可区分. 如：位置 ⃗r(t), 动量 ⃗p(t), 角动量 ⃗L(t) 等. 微观体系: 体系的状态：用波函数 ψ(⃗r,t) 描述. 力学量：一般无确定值, 具有统计特征, 应用算符来表示

1.3算符的概念和一般性质 算符：表示对波函数（状态）的一种运算.F亚=Φ，一般有亚≠亚 当亚为算符F的本征函数时有：F亚=λ亚.对应的常数入便为 F的本征值 本课程中主要讨论的算符均为线性算符（时间反演算符除外），即 满足： O(c11+c22）=c1O1+c2O2 (1) 其中1和2为任意两个可能的体系波函数，91，c2∈C 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 算符的概念和一般性质 算符: 表示对波函数 (状态) 的一种运算. FΨ = Φ, 一般有 Ψ ̸= Φ. 当 Ψ 为算符 F 的本征函数时有: FΨ = λΨ. 对应的常数 λ 便为 F 的本征值. 本课程中主要讨论的算符均为线性算符 (时间反演算符除外), 即 满足： O(c1ψ1 + c2ψ2) = c1Oψ1 + c2Oψ2 (1) 其中 ψ1 和 ψ2 为任意两个可能的体系波函数, c1, c2 ∈ C

算符的一些基本性质 单位算符工：工业=少.单位算符作用于任何波函数不改变波函数 算符之和：(A+B)b=A+B. 算符之积：(AB)b=A(B). 注意 一般算符之积不满足交换律，AB≠BA,即AB-BA=[A,B]≠0. 当[A,B=0则称算符A,B对易，否则A,B算符不对易 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 算符的一些基本性质 单位算符 I: Iψ = ψ. 单位算符作用于任何波函数不改变波函数. 算符之和: (A + B)ψ = Aψ + Bψ. 算符之积: (AB)ψ = A(Bψ). 注意: 一般算符之积不满足交换律,AB ̸= BA, 即 AB − BA = [A, B] ̸= 0. 当 [A, B] = 0 则称算符 A, B 对易, 否则 A, B 算符不对易

例：考察x与px是否对易. 在坐标表象下，Px=一市号.对于体系的任意可能波函数中，有： pxψ=一ix (2) 而 pw=-h(）=-h心-ixa (3) 故 [x,Pxψ=(xpx-Pxx)ψ=i. (4) 类似地可以证明 [Xa;PB ihoaB (5) 这里xa=123={xyz,PB=1,23={Px,PyPz,o:· 290

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 例: 考察 x 与 px 是否对易. 在坐标表象下,px = −i¯h ∂ ∂x . 对于体系的任意可能波函数 ψ, 有： xpxψ = −i¯hx ∂ ∂x ψ, (2) 而 pxxψ = −i¯h ∂ ∂x (xψ) = −i¯hψ − i¯hx ∂ ∂x ψ, (3) 故 [x, px]ψ = (xpx − pxx)ψ = i¯hψ. (4) 类似地可以证明 [xα, pβ] = i¯hδαβ (5) 这里 xα=1,2,3 = {x, y, z}, pβ=1,2,3 = {px, py, pz}

轨道角动量算符 角动量算符可以表示为： L=7× 分量形式为： Lx=ypx-zpy,Ly ZPx-xpz,Lz=xpy-ypx. 利用上面介绍的位置和动量分量间的对易关系[xa,Pl=68, 我们可以证明角动量算符各个分量与位置和动量算符的对易关系 为： [La;x8]iheaByxy [La:PB]ihea8Py [La:LB]iheasyLy 其中ea为Levi-Civita符号，其定义为： ea0y=-eBay=-6aB,6123=1. 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 轨道角动量算符 角动量算符可以表示为: ⃗L =⃗r ×⃗p. 分量形式为: Lx = ypx − zpy,Ly = zpx − xpz,Lz = xpy − ypx. 利用上面介绍的位置和动量分量间的对易关系 [xα, pβ] = i¯hδαβ, 我们可以证明角动量算符各个分量与位置和动量算符的对易关系 为： [Lα, xβ] = i¯hϵαβγxγ, [Lα, pβ] = i¯hϵαβγpγ, [Lα, Lβ] = i¯hϵαβγLγ, 其中 ϵαβγ 为 Levi-Civita 符号, 其定义为： ϵαβγ = −ϵβαγ = −ϵαγβ, ϵ123 = 1