电子科技大学：《高等量子力学 Advanced Quantum Mechanics》研究生课程教学资源（课件讲稿）第六章 二次量子化方法

单 物理学院 School of Physics 求真求实 大气大为 第六章二次量子化方法 授课教师：邬劭轶教授

求真求实 大气大为 第六章 二次量子化方法 授课教师: 邬劭轶 教授

二次量子化方法 6.1产生湮灭算符 基本算符：产生和湮灭算符→可用于表示力学量和状态（多粒子体系）. 对N个全同费米子体系，有一组正交归一的单粒子态，并假设分别有一个粒子处于 ,B,中y,态上，则归一化的N粒子反对称波函数可以表示为： 1 1Ψa(1) ψa(2) ψa(3) ψg(1) ψg(2) ψg(3) =la,B,y,…〉 定义产生算符ad,咕，时，…为： la,B,y,…)=aa咕时lny 2)没有粒子的基态

二次量子化方法 基本算符:产生和湮灭算符⇒可用于表示力学量和状态(多粒子体系). 对N个全同费米子体系,有一组正交归一的单粒子态𝜓𝑖 ,并假设分别有一个粒子处于 𝜓𝛼, 𝜓𝛽, 𝜓𝛾, …态上,则归一化的N粒子反对称波函数可以表示为: 1 𝑁! 𝜓𝛼(1) 𝜓𝛼(2) 𝜓𝛼(3) … 𝜓𝛽(1) 𝜓𝛽(2) 𝜓𝛽(3) … … … … … = |𝛼, 𝛽, 𝛾, … 〉 定义产生算符𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † , 𝑎𝛾 † , …为: 𝛼, 𝛽, 𝛾, … = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω |Ω〉没有粒子的基态 6.1 产生湮灭算符

二次量子化方法 由于费米子的任意两个单粒子态不能相同（泡利原理），即adad=0. 交换对称性（费米子满足反对称性质）：IBay…〉=-|βy…〉 或者写成i咕对…ln)=-咕t叶…ln),整理可以得到a咕+咕=0. 定义反对易算符财，咕l={财，咕}三咕咕+咕站=0. 取算符的厄密共轭，我们可以得到[aa,ag]t三aaag+agaa 由波函数的归一化性质有(alac)=laaa2)=1.aa称为湮灭算符

二次量子化方法 由于费米子的任意两个单粒子态不能相同(泡利原理) ,即𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † = 0. 交换对称性(费米子满足反对称性质): 𝛽𝛼𝛾 … = − 𝛼𝛽𝛾 … 或者写成𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω ,整理可以得到𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † + 𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † = 0. 定义反对易算符: 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † + = 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † ≡ 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † + 𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † = 0. 取算符的厄密共轭,我们可以得到: 𝑎𝛼, 𝑎𝛽 + ≡ 𝑎𝛼𝑎𝛽 + 𝑎𝛽𝑎𝛼. 由波函数的归一化性质有〈𝛼 𝛼 = Ω 𝑎𝛼𝑎𝛼 † Ω = 1. 𝑎𝛼称为湮灭算符

二次量子化方法 若≠B,对于单粒子态B占据的态， 利用apata咕a叶.…ln)=-as咕ada时ln）=-ada时l)=-axapapa时lny 可以得到：(agat+aap)IBy…）=0. 对于单粒子态B空着的态yd,也有(asad+atag)y心〉=0. 综合地，[ag,a]+三agat+adag=0(B≠a)

二次量子化方法 若𝛼 ≠ 𝛽, 对于单粒子态𝛽占据的态， 利用𝑎𝛽𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛽𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛼 † 𝑎𝛽𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω 可以得到:(𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽) 𝛽𝛾 … = 0. 对于单粒子态𝛽空着的态 𝛾𝛿 … ,也有(𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽) 𝛾𝛿 … = 0. 综合地，[𝑎𝛽, 𝑎𝛼 † ]+ ≡ 𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 = 0 𝛽 ≠ 𝛼

二次量子化方法 下面考察若a=B的情形，单粒子态有粒子 令算符aaat和adaa分别作用于态laBy…,利用前面的关系式得到 aaablaBy…）=aaa咕a咕a咕a时ln=0 再有 ataalaBy…）=ataaakapa时ln)=adai时ln)=lapy.…） 两式相加得到： (aaad+adaa)laBy…）=laBy…） 考虑作用于单粒子态a没有粒子态即By),可以得到 aaaalBy…〉=lBy…）

二次量子化方法 下面考察若𝛼 = 𝛽的情形，单粒子态𝛼有粒子 令算符𝑎𝛼𝑎𝛼 †和𝑎𝛼 † 𝑎𝛼分别作用于态 𝛼𝛽𝛾 … , 利用前面的关系式得到 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝛼𝛽𝛾 … = 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 0 再有 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝛼𝛽𝛾 … = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 𝛼𝛽𝛾 … 两式相加得到: 𝑎𝛼𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝛼𝛽𝛾 … = 𝛼𝛽𝛾 … 考虑作用于单粒子态𝛼没有粒子态即 𝛽𝛾 … , 可以得到 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝛽𝛾 … = |𝛽𝛾 … 〉

二次量子化方法 以及 ataalBy…〉=0 综合上面两种情况adaa+aaad作用相当于恒等算符，即[aa,a】+三aaad+ adaa =1 最后将前面的关系式概括为如下的费米子产生和湮灭性质： [aa,ap]+=8aB [a,agl+=财il=0

二次量子化方法 以及 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝛽𝛾 … = 0 综合上面两种情况𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 + 𝑎𝛼𝑎𝛼 †作用相当于恒等算符,即[𝑎𝛼, 𝑎𝛼 † ]+ ≡ 𝑎𝛼𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 = 1 最后将前面的关系式概括为如下的费米子产生和湮灭性质: ൞ [𝑎𝛼, 𝑎𝛽 † ]+ = 𝛿𝛼𝛽 [𝑎𝛼, 𝑎𝛽]+ = 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † + = 0

二次量子化方法 玻色子体系 对于玻色子体系，可以类似处理.但不同于之处在于波函数关于两个全通玻色 子交换是对称的。由此可得到玻色子的产生和湮灭算符 [aa,咕l=au咕-咕aa=⑥ag [awap]=a味，il=0 显然，对于玻色子，泡利原理不成立，即同一单粒子态上允许有任意个粒子

二次量子化方法 玻色子体系 对于玻色子体系，可以类似处理. 但不同于之处在于波函数关于两个全通玻色 子交换是对称的。由此可得到玻色子的产生和湮灭算符 𝑎𝛼, 𝑎𝛽 † ≡ 𝑎𝛼𝑎𝛽 † − 𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 = 𝛿𝛼𝛽 𝑎𝛼, 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † = 0 显然，对于玻色子,泡利原理不成立,即同一单粒子态上允许有任意个粒子

二次量子化方法 6.2多粒子态以及算符性质 例1.求证有n个玻色子处于单粒子态a的归一化波函数可以表示为 .-(am 证明： (QI(aa)(@)"Q)=(QI(aa-1aaab(at)"a-) =(Ql(Qa)a-1(at)"-)+(QI(aa)a-iataa(at)"a-) =2(Ql(aa)na-1(at)"a-l)+(l(aa)na-1(a)aaak(ak na-3 ）2〉=…

二次量子化方法 6.2 多粒子态以及算符性质 例1. 求证有𝑛𝛼个玻色子处于单粒子态𝛼的归一化波函数可以表示为 𝑛𝛼 = 1 𝑛𝛼 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼 Ω 证明: Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼 Ω = Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼−1𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω = Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼−1 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω + Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼−1𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω = 2 Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼−1 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω + Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼−1 𝑎𝛼 † 2 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−3 Ω = ⋯

二次量子化方法 最后直到利用aa2〉=0，得到 (l(aa)mr(ad)”1=nl(a.)n-1(ad)"1n)=n(n-1)l(aa)n-2(a)”-21n= =nl 由此可见波函数(a)”12)满足归一化条件. 例2.利用上面的关系式证明： aalna）=Vna+1lna+1y aana〉=nalna-1）

二次量子化方法 最后直到利用𝑎𝛼 Ω = 0, 得到 Ω (𝑎𝛼 𝑛𝛼 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼 Ω = 𝑛 Ω (𝑎𝛼 𝑛−1 𝑎𝛼 † 𝑛−1 Ω = 𝑛(𝑛 − 1) Ω (𝑎𝛼 𝑛−2 𝑎𝛼 † 𝑛−2 Ω = ⋯ = 𝑛! 由此可见波函数 1 𝑛! 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼 Ω 满足归一化条件. 例2. 利用上面的关系式证明: 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼 = 𝑛𝛼 + 1 𝑛𝛼 + 1 𝑎𝛼 𝑛𝛼 = 𝑛𝛼 𝑛𝛼 − 1

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二次量子化方法 证明: 𝑎𝛼 𝑛𝛼 = 1 𝑛𝛼! 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω = 1 𝑛𝛼! 1 + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω = 1 𝑛𝛼! 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω + 1 𝑛𝛼! 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−2 Ω = ⋯ = 𝑛𝛼 1 𝑛𝛼! 𝑎𝛼 † 𝑛𝛼−1 Ω = 𝑛𝛼 𝑛𝛼 − 1