电子科技大学：《高等量子力学 Advanced Quantum Mechanics》研究生课程教学资源（课件讲稿）第四章 近似方法

单 物理学院 School of Physics 求真求实 大气大为 第四章近似方法 授课教师：邬劭轶教授

求真求实 大气大为 第四章 近似方法 授课教师: 邬劭轶 教授

定态微扰方法 4.1定态微扰方法 本章节主要内容：定态微扰方法（非简并微扰和简并微扰），变分原理。 多数情况下，薛定谔方程不能严格求解，需要用到近似方法。 设体系的哈密顿量为H(不显含时间t),能量本征方程为：H妙=E吵.但是数学上不能 严格地求解。为了能够的近似地进行求解，我们可以假定： H=HO+H'=HO+λW λ为刻画某相互作用的强度的参数为无量纲的小量，即川《1.H'称为微扰项

定态微扰方法 本章节主要内容:定态微扰方法(非简并微扰和简并微扰),变分原理。 设体系的哈密顿量为𝐻 不显含时间𝑡 ,能量本征方程为:𝐻𝜓 = 𝐸𝜓.但是数学上不能 严格地求解。 为了能够的近似地进行求解,我们可以假定： 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻 ′ = 𝐻0 + 𝜆𝑊 4.1定态微扰方法 多数情况下,薛定谔方程不能严格求解,需要用到近似方法。 𝜆为刻画某相互作用的强度的参数为无量纲的小量,即 𝜆 ≪ 1. 𝐻 ′称为微扰项

定态微扰方法 微扰法的特点为： 1.H0的本征值以及本征函数容易求解，或者已有现成解。 2把微扰H'的响逐级考虑，使所得的近似解尽量接近于 精确解

定态微扰方法 1. 𝐻0 的本征值以及本征函数容易求解，或者已有现成解。 微扰法的特点为: 2.把微扰 𝐻 ′的影响逐级考虑, 使所得的近似解尽量接近于 精确解

定态微扰方法 一、非简并微扰方法 设定Ho功，0=E0,已经解出，若它的能级的E0是非简并的。 下面我们讨论存在微扰H'作用下，用逐级近似的方法求解薛定谔方程。令 E=E(0)+1E(1)+2E(2)+… ψ=ψ0)+1ψ1四+22ψ2)+… 其中E(o)和妙(o)是零级近似解。将上面级数展开的表达式代入能量本征 方程

定态微扰方法 设定 𝐻0𝜓𝑛 (0) = 𝐸𝑛 (0) 𝜓𝑛 (0)已经解出, 若它的能级的𝐸𝑛 (0)是非简并的。 一、非简并微扰方法 下面我们讨论存在微扰 𝐻 ′作用下, 用逐级近似的方法求解薛定谔方程。令 𝐸 = 𝐸 (0) + 𝜆𝐸 (1) + 𝜆 2𝐸 (2) + ⋯ 𝜓 = 𝜓 (0) + 𝜆𝜓 (1) + 𝜆 2𝜓 (2) + ⋯ 其中𝐸 (0)和𝜓 (0)是零级近似解。将上面级数展开的表达式代入能量本征 方程

⑨ 定态微扰方法 并比较方程两端λ的同幂次项，得到各级近似方程为： λ0：Hpo)=Eo)p(o) Z:H四+W(o)=E0)(1四+E1ψ(o) 2:Ho2)+W=Eo)w(2)+E(1)a+E2)wo) 下面我们逐级求解，假设在不考虑微扰时，体系处于某非简并能级，即 E(0)=E) 选定的k表示任一非简并态，相应的本征波函数为：功@)=

定态微扰方法 并比较方程两端𝜆的同幂次项,得到各级近似方程为: 𝜆 0 : 𝐻0𝜓 (0) = 𝐸 (0)𝜓 (0) 𝜆 1 : 𝐻0𝜓 (1) + 𝑊𝜓 (0) = 𝐸 (0)𝜓 (1) + 𝐸 1 𝜓 (0) 𝜆 2 : 𝐻0𝜓 (2) + 𝑊𝜓 (1) = 𝐸 (0)𝜓 (2) + 𝐸 1 𝜓 (1)+𝐸 2 𝜓 (0) … … 下面我们逐级求解, 假设在不考虑微扰时，体系处于某非简并能级，即 𝐸 (0) = 𝐸𝑘 (0) 选定的𝑘表示任一非简并态, 相应的本征波函数为:𝜓 (0) = 𝜓𝑘 (0)

⑨ 定态微扰方法 将一阶微扰的波函数用上述的零级本征波函数展开： w=∑0 带入一次幂对应的方程得到： ∑e+w4=E∑y0+E 两边左乘以°并积分，利用°的正交归一性，我们可以得到： a用E9+wmk=Ea+E四ink 其中矩阵元wnk=(9,w）

定态微扰方法 将一阶微扰的波函数用上述的零级本征波函数展开: 带入一次幂对应的方程得到: ෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝐸𝑛 (0) 𝜓𝑛 (0) + 𝑊𝜓𝑘 (0) = 𝐸𝑘 (0)෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0) + 𝐸 (1)𝜓𝑘 (0) 两边左乘以𝜓𝑚 (0)并积分,利用𝜓𝑚 0 的正交归一性，我们可以得到: 𝑎𝑚 (1) 𝐸𝑚 (0) + 𝑊𝑚𝑘 = 𝐸𝑘 (0) 𝑎𝑚 (1) + 𝐸 (1)𝛿𝑚𝑘 其中矩阵元𝑊𝑚𝑘 = 𝜓𝑚 0 , 𝑊𝜓𝑘 0 。 𝜓 (1) = ෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0)

定态微扰方法 1.一级近似 将一阶微扰的波函数用上述的零级本征波函数展开： 4=∑ 带入一次幂对应的方程得到： ∑0e4.0+w0=E∑949+Eaw0

定态微扰方法 将一阶微扰的波函数用上述的零级本征波函数展开: 带入一次幂对应的方程得到: ෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝐸𝑛 (0) 𝜓𝑛 (0) + 𝑊𝜓𝑘 (0) = 𝐸𝑘 (0)෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0) + 𝐸 (1)𝜓𝑘 (0) 𝜓 (1) = ෍ 𝑛 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0) 1.一级近似

定态微扰方法 两边左乘以并积分，利用，的正交归一性，我们可以得到： aE9+Wmk=Ea9+E四inmk 其中矩阵元Wmk=(9,wpo）。 当m=k时，该方程可以得到能量的一级修正： E四=W=(0,Wp） 即能量的一阶修正是微扰项在零级波函数下的平均值

定态微扰方法 当𝑚 = 𝑘时,该方程可以得到能量的一级修正: 即能量的一阶修正是微扰项在零级波函数下的平均值。 𝐸𝑘 (1) = 𝑊𝑘𝑘 = 𝜓𝑘 0 , 𝑊𝜓𝑘 0 两边左乘以𝜓𝑚 (0)并积分,利用𝜓𝑚 0 的正交归一性，我们可以得到: 𝑎𝑚 (1) 𝐸𝑚 (0) + 𝑊𝑚𝑘 = 𝐸𝑘 (0) 𝑎𝑚 (1) + 𝐸 (1)𝛿𝑚𝑘 其中矩阵元𝑊𝑚𝑘 = 𝜓𝑚 0 , 𝑊𝜓𝑘 0

定态微扰方法 当≠k时，得到波函数的一级修正系数，即： (1) Wik am (m≠k) 可以证明，=0，最后得到在一级近似下，能量和波函数为： Ek=EO+H队k =9+2 带“” 的求和除去了项n=k!

定态微扰方法 可以证明, 𝑎𝑘 (1) = 0,最后得到在一级近似下,能量和波函数为: 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘 (0) + 𝐻𝑘𝑘 ′ 𝜓𝑘= 𝜓𝑘 (0) + σ𝑛 ′ 𝐻𝑛𝑘 ′ 𝐸𝑘 (0) −𝐸𝑛 (0) 𝜓𝑛 (0) 带“’”的求和除去了项𝑛 = 𝑘! 当𝑚 ≠ 𝑘时,得到波函数的一级修正系数,即: 𝑎𝑚 (1) = 𝑊𝑘𝑘 𝐸𝑘 (0) − 𝐸𝑚 (0) 𝑚 ≠ 𝑘

定态微扰方法 2.二级近似 令2)-ma2,°，带入2项，并利用前面的零级、一级近似解可以得到： ∑9e9w0+w∑90-∑w0+wmx∑n90+w0 两边左乘，*并积分可得： aWan =B+Wawamk

定态微扰方法 令 𝜓 (2) = σ𝑛 𝑎𝑛 (2) 𝜓𝑛 (0) ,带入𝜆 2项，并利用前面的零级、一级近似解可以得到: ෍ 𝑛 𝑎𝑛 (2) 𝐸𝑛 (0) 𝜓𝑛 (0) + 𝑊෍𝑛 ′ 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0) = 𝐸𝑘 (0)෍ 𝑛 𝑎𝑛 (2) 𝜓𝑛 (0) + 𝑊𝑘𝑘 ෍𝑛 ′ 𝑎𝑛 (1) 𝜓𝑛 (0) + 𝐸𝑛 (2) 𝜓𝑘 (0) 两边左乘𝜓𝑚 0 ∗并积分可得： 𝑎𝑛 (2) 𝐸𝑚 (0) + ෍𝑛 ′ 𝑎𝑛 (1)𝑊𝑚𝑛 = 𝐸𝑘 (0) 𝑎𝑚 (2) + 𝑊𝑘𝑘𝑎𝑚 (1) + 𝐸 (2)𝛿𝑚𝑘 2.二级近似