电子科技大学：《高等量子力学 Advanced Quantum Mechanics》研究生课程教学资源（课件讲稿）第二章 中心力场

第二章↓ 中心力场 经典力学中的中心力场问题： 太阳系（万有引力） 量子力学力学中心力场问题： 原子核库伦场中的电子→原子结构信息 考虑的重要物理量有： 1.角动量为守恒量，常选取(H,2,Lz)为力学量完备集 2.能量（与角动量有关，能量随角动量量子数的增加而增加） 常用数学方法： 1.分离变量法：二体问题→单体问题 2.特殊函数，求解薛定谔方程 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第二章 中心力场 经典力学中的中心力场问题： 太阳系 (万有引力) 量子力学力学中心力场问题: 原子核库伦场中的电子 ⇒ 原子结构信息 考虑的重要物理量有: 1. 角动量 ⃗L 为守恒量, 常选取 (H, ⃗L 2 , Lz) 为力学量完备集. 2. 能量 (与角动量有关, 能量随角动量量子数的增加而增加.) 常用数学方法: 1. 分离变量法：二体问题 ⇒ 单体问题 2. 特殊函数, 求解薛定谔方程

2.1原子结构的早期量子模型：玻尔原子理论 讨论原子在原子核库伦场下运动的特点，提出了3个假设 ·能量量子化 体系能量不连续，即只能取分立值E1,E2,E3,.,En,称为能 级 。频率条件 电子在不同能级间跃迁，吸收或者释放出相应频率的电磁波， 即 hv Ef-Ei (1) 定态 电子虽在核外作加速运动，但处于稳定状态，即并不向外辐 射能量 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 原子结构的早期量子模型: 玻尔原子理论 讨论原子在原子核库伦场下运动的特点, 提出了 3 个假设. ▶ 能量量子化 体系能量不连续, 即只能取分立值 E1, E2, E3, . . . , En, 称为能 级. ▶ 频率条件 电子在不同能级间跃迁, 吸收或者释放出相应频率的电磁波, 即 hν = |Ef − Ei | (1) ▶ 定态 电子虽在核外作加速运动, 但处于稳定状态, 即并不向外辐 射能量

2.1原子结构的早期量子模型：玻尔原子理论 玻尔原子理论的优缺点： ·优点：能解释原子光谱的线状谱和原子的稳定性 。缺点：过于粗糙，并非严格的量子理论 口卡+日4三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 原子结构的早期量子模型: 玻尔原子理论 玻尔原子理论的优缺点: ▶ 优点: 能解释原子光谱的线状谱和原子的稳定性. ▶ 缺点: 过于粗糙, 并非严格的量子理论

2.2中心力场体系：氢原子 库伦势场中的电子运动：库伦势能V()=一。 二体体系的哈密顿量为： H 2m1 #+Wi- (2) 原子核7=元-示2核外电子 由于原子核和电子之间的库伦势 不含时间，属于定态问题 72 按经典力学，两体运动可化为质 心的运动和相对质心的运动两部 分 坐标原点 口卡+日14三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 中心力场体系: 氢原子 库伦势场中的电子运动: 库伦势能 V(r) = − e 2 r . 二体体系的哈密顿量为: H = − ¯h 2 2m1 ∇2 1 − ¯h 2 2m2 ∇2 2 + V(|⃗r1 −⃗r2|) (2) ￾￾ ￾￾ ￾ = ￾￾-￾￾ 原子核 核外电子 坐标原点 由于原子核和电子之间的库伦势 不含时间, 属于定态问题. 按经典力学, 两体运动可化为质 心的运动和相对质心的运动两部 分

定态薛定谔方程可以表示为： 2m1 引入质心坐标 R=mn+m2r (3) m1+m2 和相对坐标 7=方-应 (4) 可以证明： 1 (5) m += m2 :口40t4在1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定态薛定谔方程可以表示为: [ − ¯h 2 2m1 ∇2 1 − ¯h 2 2m2 ∇2 2 + V(|⃗r1 −⃗r2|) ] ψ = Eψ 引入质心坐标 ⃗R = m1⃗r1 + m2⃗r2 m1 + m2 (3) 和相对坐标 ⃗r =⃗r1 −⃗r2 (4) 可以证明: 1 m1 ∇2 1 + 1 m2 ∇2 2 = 1 M ∇2 R + 1 µ ∇2 (5)

这里的72是相对坐标的拉普拉斯算符.定义了总质量 M=m1+m2,约化质量4=m1m2/(m1+m2). 则定态薛定谔方程化为： 吸-+小= (6) 其中r= 将体系的波函数分为质心部分和相对质心部分（分离变量），即 妙=(R)(⑦.带入定态方程，分离变量得到： 1.一苏V和（风=Eo(风.质心运动部分 2.一2+(0=(E:-E(0=( ,相对运动部 口4021=，是QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 这里的 ∇2 是相对坐标的拉普拉斯算符. 定义了总质量 M = m1 + m2, 约化质量 µ = m1m2/(m1 + m2). 则定态薛定谔方程化为: [ − ¯h 2 2M ∇2 R − ¯h 2 2µ ∇2 + V(r) ] ψ = Eψ (6) 其中 r = |⃗r|. 将体系的波函数分为质心部分和相对质心部分 (分离变量), 即 ψ = ϕ( ⃗R)ψ(⃗r). 带入定态方程, 分离变量得到: 1. − h¯ 2 2M∇2 R ϕ( ⃗R) = Ecϕ( ⃗R), 质心运动部分 2. [ − h¯ 2 2µ∇2 + V(r) ] ψ(⃗r) = (Et − Ec)ψ(⃗r) = Eψ(⃗r) 相对运动部 分

说明： ·质心运动部分：自由粒子波动方程，E。为质心运动能量，为集 体效应，与我们关系的内部原子内部结构无关，这里不予考 虑.（但在固体物理学中，这部分将发展为晶格动力学） 相对运动部分：与单体的波动方程等效，可揭示原子结构信 息（在固体物理学中，这部分进一步发展为能带理论） 接下来，我们着重求解相对运动部分这一等效单体的波动方程 口卡+日14三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 说明: ▶ 质心运动部分: 自由粒子波动方程,Ec 为质心运动能量, 为集 体效应, 与我们关系的内部原子内部结构无关, 这里不予考 虑.(但在固体物理学中, 这部分将发展为晶格动力学.) ▶ 相对运动部分: 与单体的波动方程等效, 可揭示原子结构信 息.(在固体物理学中, 这部分进一步发展为能带理论.) 接下来, 我们着重求解相对运动部分这一等效单体的波动方程

由于库伦势场V()=-三 具有球对称性，故取球坐标较为方便 这时拉普拉斯算符表示为： 2=- 10 1 02 1 ar sin 000 sin (7) 将体系波函数分离为径向部分（与r相关）和角度部分（与0，P 有关)： (r,0,p)=R(r)Y(0,p) (8) 带入定态方程整理可以得到2个方程 L2Y0,p)=λ2Y0,p) (9) [乐++wA)=E (10) :口404三·1生，生QG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由于库伦势场 V(r) = − e 2 r 具有球对称性, 故取球坐标较为方便. 这时拉普拉斯算符表示为: ∇2 = − 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2 ∂ ∂r ) + 1 r 2 [ 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ] (7) 将体系波函数分离为径向部分 (与 r 相关) 和角度部分 (与 θ, φ 有关): ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ) (8) 带入定态方程整理可以得到 2 个方程 L 2Y(θ, φ) = λ¯h 2Y(θ, φ) (9) [ p 2 r 2µ + λ¯h 2 2µr 2 + V(r) ] R(r) = ER(r) (10)

其中算符为 2=-2 18 sin0+ 1 02 sin0 00 sin2e0Φ2 (11) 10 Pr 一i ror (12) p为极坐标下的径向的动量算符 口卡+日14三+1色，生QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 其中算符为 L 2 = −¯h 2 [ 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂ϕ2 ] (11) pr = −i¯h 1 r ∂ ∂r r (12) pr 为极坐标下的径向的动量算符

角向部分求解 下面求角度部分，我们继续对Y(0,Φ)还可以进一步分离变量 根据我们前面角动量部分的求解，我们知道角向部分的的本征方 程解的本征值为 入=1(1+1)， 1=0,1,2,3, (13) 对应的本征函数为球谐函数 Ym(0,)=NmPm(cos0)eme,m=0,±1，±2，.. (14) 4口卡4日4三·1色生)QC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 角向部分求解 下面求角度部分，我们继续对 Y(θ, ϕ) 还可以进一步分离变量, 根据我们前面角动量部分的求解，我们知道角向部分的的本征方 程解的本征值为 λ = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, . . . (13) 对应的本征函数为球谐函数 Ylm(θ, ϕ) = NlmP |m| l (cos θ)e imϕ , m = 0, ±1, ±2, . . . (14)