北方工业大学建筑工程学院：《建筑力学 Architectural Mechanics》课程PPT课件讲稿_第五章 梁和结构的位移——复习（3/3）

5.4静定结构位移计算

5.4 静定结构位移计算

变形体的虚功原理 在变形体系上,如果力状态中的力系能满足平衡 条件,位移状态中的应变能满足变形协调条件(包括 位移与应变的协调和位移与约束的几何相容),则外 力虚功总和等于虚应变能。即: 变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是 外力所作虚功总和等于变形虚功。 T=W (5-8) 变形体虚功可写为: T=2「M+∑∫M+∑Qo(5-10)

在变形体系上，如果力状态中的力系能满足平衡 条件，位移状态中的应变能满足变形协调条件（包括 位移与应变的协调和位移与约束的几何相容），则外 力虚功总和等于虚应变能。即： 变形体的虚功原理 =  + + (5−10)    T Md Ndu Qds 变形连续体系处于平衡的必要与充分条件是： 外力所作虚功总和等于变形虚功。 变形体虚功可写为： T = W (5 -8)

公式(5-8)是普遍公式。(因为在推导中未涉及 变形因素、结构类型、材料性质等)因此适用于任意 情况。 ①、变形类型:弯曲、轴向拉压、剪切变形。 ②、产生变形的因素:荷载、温度改变、支座移 动等。 ③、结构类型:梁、刚架、拱、桁架等静定、超 静定。 ④、材料性质:弹性、非弹性

公式（5-8）是普遍公式。（因为在推导中未涉及 变形因素、结构类型、材料性质等）因此适用于任意 情况。 ①、变形类型：弯曲、轴向拉压、剪切变形。 ②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移 动等。 ③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超 静定。 ④、材料性质：弹性、非弹性

单位荷载法 计算公式 k P=1 K k M P d P yds p 绕多 实际状态(位移状态) 虚拟状态(力状态) 实际状态(位移状态):求K截面k-k方向上的线位移△p 虚拟状态(力状态):K截面k-k方向上加单位荷载P

M P1 P2 k q k M N Q du γds dφ QP NP MP ⊿kP 实际状态（位移状态） 虚拟状态（力状态） P =1 K K 实际状态（位移状态）: 求K 截面 k-k 方向上的线位移⊿P 。 虚拟状态（力状态）: K 截面k-k方向上加单位荷载P =1 。 单位荷载法 一、计算公式

由虚功原理 P ARP=2 Mdo+2 Ndu+cords (a) El du= eds (b、 EA (b、c、d)→(a) 9%了+N了+K= (5-13)

    = + + l l l P kP Md Ndu Qds ds EI M d ds P = =   1 ds EA N du ds P =  = ds GA Q ds P  =  （b、c 、d） 由虚功原理： （b、c、d）→（a） ds G A Q Q ds EA N N ds EI M P   + P  + P M = kP  （5-13） （a）

spanO aN〈+$p ∫ E/、EA和GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。 p为截面的剪应力分布不均匀系数。只与截面的形状有关: 矩形截面:p=1.2 圆形截面:p=3227 工字形截面(如果只算腹板的面积)p=1 注: 1、公式(5-13)为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。 2、正负号:∠若为正值,则所求位移与虚拟状态中单位力P=1 的方向相同,反之为负 3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。 其中外力功恰好等于所求位移。 4、单位荷载法不仅可以用来计算结构的线位移,也可以用来计算结 构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的 广义单位荷载即可(P207图5-13)

ds G A Q Q ds EA N N ds EI M P   + P  + P M = kP  EI、 EA和GA分别是截面的抗弯、抗拉和抗剪刚度。 μ为截面的剪应力分布不均匀系数。只与截面的形状有关: 矩形截面：μ=1.2 圆形截面：μ=32/27 工字形截面（如果只算腹板的面积）μ=1 注: 1、公式（5-13）为结构由于荷载作用引起的位移计算公式。 2、正负号：⊿kP 若为正值，则所求位移与虚拟状态中单位力P =1 的方向相同，反之为负。 3、位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。 其中外力功恰好等于所求位移。 4、单位荷载法不仅可以用来计算结构的线位移，也可以用来计算结 构其他性质的位移。只要求虚拟状态中的单位力为与所求位移相对应的 广义单位荷载即可(P207:图5-13)

各类结构的位移计算公式 1)、梁和刚架:位移主要由弯曲变形引起。 ∑∫ MM as (5-14) El (2)、拱: ①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时: ∑∫ MM +∑ Nw (5-15) El EA ②通常情况: ∑∫ MM El

二、各类结构的位移计算公式 （1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。 ds (5-14) EI MMP kP   = （2）、拱： ①扁平拱及拱的轴线与合理拱轴相近且精度要求高时： ds (5 -15) EA NN ds EI MMP P kP    = + ②通常情况： ds EI MMP kP   =

(3)、桁架:各杆中只有轴力,且各杆截面和各杆 轴力沿杆长一般为常数。 A=∑∫NAh=∑ Nw (5-16) EA (4)、组合结构:一些杆件主要受弯,一些杆件只 有轴力。 Mm NNl kP一 ∑ ds (5-17) El ∑ EA

（3）、桁架：各杆中只有轴力，且各杆截面和各杆 轴力沿杆长一般为常数。   (5 -16)   = = EA NN l ds EA NNP P kP （4）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只 有轴力。   (5 -17)   = + EA NN l ds EI MMP P kP

例 A 简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点C的竖向 多谷 Cy ql/2 位移∠cv和截面B的转角pg 12 → 解:求C点的竖向位移。 虚拟状态如图: B 实际状态虚拟状态 Mp=g(x-x)/2 M=x/2 (因对称,只计算一半) 1/21x 5 C 2 (l-x dx= 0E22 384EI

例1 简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点C的竖向 位移⊿CV 和截面B的转角φB。 解：求C点的竖向位移。 虚拟状态如图： 实际状态 虚拟状态 MP=q(lx-x 2 )/2 M=x/2 (因对称，只计算一半) A B x l/2 x q C l/2 ql/2 ⊿CV ql/2 φB P=1 1/2 A B C 1/2 x ( ) 384 5 ( ) 2 2 1 2 4 2 / 2 0  =  =   − =   EI ql lx x dx x q EI l kP CV

实际状态虚拟状态 Mp =q(Lx-x2)/2 M=-x/ Cy 12 12 12 P=M=I B C (Lx-x dx (逆时针) El 2 24EI

A B x l/2 x q C l/2 ql/2 ⊿CV ql/2 φB P=M=1 1/lA B C 1/l x 实际状态 虚拟状态 MP=q(lx-x2 )/2 M= - x/l ( ) 24 ( ) 2 ( ) 1 3 2 0 逆时针 EI ql lx x dx q lx EI l kP = B =  −  − = −  