同济大学：《高等数学》课程教学资源（预习PPT讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用 第七节 曲率

第七节 曲率 王王二二王王 一、基本概念① 曲线上任意点的曲率是描述曲线在该点弯曲程度的一个量. 设P是曲线L上的一点W在L上任取一与P。相近的点p, 分别在P点与p点作曲线L的切线L,与l. 记两条切线L与I的夹角为△心p,点与p点间曲线的弧长为△sQ 工王王工王 则，当p点趋向于Po点时 △a 极限im = lim △a =K.0 A,4 p→Po △S △s-→0 称为曲线在P点的曲率，并记为K

一、 基本概念 第七节 曲率 设 0 p 是曲线 L 上的一点， 曲线上任意点的曲率是描述曲线在该点弯曲程度的一个量. 在 L 上任取一与 0 p 相近的点 p， 分别在 0 p 点与 p点作曲线 L 的切线 0 l 与l. 记两条切线 0 l 与l的夹角为  ， p0 点与 p点间曲线的弧长为 s.   p 0 p s 则，当 p点趋向于 p0点时，  极限 K p p s s s =   =   →  →   0 lim lim 0 . 称为曲线在 p0点 的曲 率，并记为K

曲率的倒数 K =P称为曲线在该点的曲率半径. 曲率圆* 在Po点与曲线相切、与曲线在该点的曲率相等、与曲线 在该点凹向一致的圆称为曲线在卫点的曲率圆Q 由曲率圆的概念知道： 曲率圆的半径等于曲线在P,点曲率半径.④

曲 率的倒数 =  K 1 称为曲线在该点的曲率半径.  0 p  曲率圆* 在 0 p 点与曲线相切、与曲线在该点的曲率相等、与曲线 在该点凹向一致的圆称为曲线在 p0点的曲率圆. 由曲率圆的概念知道： 曲率圆的半径等于曲线在 0 p 点曲率半径

二、 定理与性质④ 设f(x)具有二阶导数，则曲线y=f(x)上任意点(x,y) 处的曲率计算公式为K= y 1+)月 设(，wd具有二阶导数，则参数曲线=p0上任意点 [y=v(t) 处的曲率计算公式为K=9'(0y”)-pw0《 3 [p'2(t)+y2(t)2

1. 设 f ( x) 具有二阶导数，则曲线 y = f ( x)上任意点( x, y) 二、 定理与性质 处的曲率计算公式为 2 3 2 (1 ) x xx y y K +   = 2. 设(t), (t) 具有二阶导数，则参数曲线   = = ( ) ( ) y t x t   上任意点 处的曲率计算公式为 2 3 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t K        +    −   =

设f(x)具有二阶导数，则曲线y=f(x)上任意点(x,y 3 的曲率圆的半径为p=K) ④0 曲率圆的圆心坐标为 xo=x-(I+y) 1+y2 y0=y+ y

3*. 设 f ( x) 具有二阶导数，则曲线 y = f ( x)上任意点( x, y) 处的曲率圆的半径为 xx x y y K  +  = = 2 3 2 1 (1 )  , (1 ) 2 0 y y y x x   +  = − , y y y y  +  = + 2 0 1 曲率圆的圆心坐标为

三、课前思考问题 1.分别利用曲率的概念与计算式分析直线与圆的曲率.④ 2.两条相切的曲线y=f(x)与y=g(x)在切点处f(x)与g(x0 的二阶导数相等，它们的曲率是否相等.④ 3.试分析对于曲线y=f(x),如何计算曲率圆的圆心坐标

三、 课前思考问题 1.分别利用曲率的概念与计算式分析直线与圆的曲率. 2.两条相切的曲线 y = f ( x)与 y = g( x)在切点处 f ( x)与g( x) 3.试分析对于曲线 y = f ( x)，如何计算曲率圆的圆心坐标. 的二阶导数相等，它们的曲率是否相等