同济大学：《高等数学》课程教学资源（预习PPT讲稿）第二章 导数与微分 第五节 微分

王王王 第五节 函数的微分 基本概念 函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义，④如果 y=f(x+△x)-f(x)=A·△r+0(Ax),其中A与△x无关 则称f(x)在点x可以微分，并且A·△x称为f(x)在点x的微分 王二二王王王 记作或df(x),4即dy=A·△x0 例如对于y=x3 △y=(x+△r)3-x3=3x2△x+3.x(△r)2+(△x)3Q =3x2△r+o(△x)0W 因此y=x3可微分，并且微分y=3x2△x④

一、 基本概念 第五节 函数的微分 函 数 y = f ( x)在 点 x的某邻域内有定义， y = f ( x + x) − f ( x) = A x + o(x), 其中A与x无关 则称 f ( x)在点 x可以微分， 记作dy或df ( x), 即dy = A x 例如 对于 3 y = x 3 3 2 2 3 y = (x + x) − x = 3x x + 3x(x) + (x) 3 ( ) 2 = x x + o x 因 此 3 y = x 可微分,并且微分d y = x x 2 3 如果 并且 A x称为 f ( x)在点 x的微分

二、定理与性质 1.函数y=f(x)在点x可微分的充分必要条件是 主二二二主二二二二二二二二二王 函数y=f(x)在点x可导， 并且△y=f'(x)△x+o(△x), 因此微分d=f'(x)△x又记为y=f'(x)kd 例如y=x3的微分d少=(x3)'△x=3x2△x=3x2dc《 例如求y=ln(x+e)的微 y'=1+2.xe = 1+2xe* d.④ xter?

二、 定理与性质 1.函 数 y = f ( x)在 点 x可微分的充分必要条件是 函数 y = f ( x)在点 x可导， 因此微分 dy = f ( x)x, 例 如 3 y = x 的微分d y x x x x x d x 3 2 2 = ( ) = 3  = 3 又记为 dy = f (x)dx 例如求 ln( )的微分 2 x y = x + e , 1 2 2 2 x x x e xe y + +   = . 1 2 2 2 dx x e xe dy x x + +  = 并 且y = f ( x)x + o(x)

基本微分公式① 由=∫'(x):可得下列基本微分公式 d(C)=0 d(x“)=x4-ld d(sin x)=cos xdx d(cosx)=-sin xdx d(tanx)=sec2 xdx d(cotx)=-csc2 xdx d(sec x)=sec xtan xdx d(cscx)=-cscxcot xdx d(ax)=ax Inadx d(ex)=exdx d(loga x)= x xIna Mn)=1

基本微分公式 由 dy = f (x)dx可 得下 列基 本微分公 式 d(C) = 0 d x x dx 1 ( ) − =    d(sin x) = cos xdx d(cos x) = −sin xdx d x xdx 2 (tan ) = sec d x xdx 2 (cot ) = −csc d(sec x) = sec x tan xdx d(csc x) = −csc x cot xdx d a a adx x x ( ) = ln d e e dx x x ( ) = dx x a d a x ln 1 (log ) = dx x d x 1 (ln ) =

d(aresin d(nrcm 1 d(are cot x)=

dx x d x 2 1 1 (arcsin ) − = dx x d x 2 1 1 (arccos ) − = − dx x d x 2 1 1 (arctan ) + = dx x d arc x 2 1 1 ( cot ) + = −

2.函数和、差、积、商的微分法则④ 设u(x),v(x)是可导（可微）函数，则有④ d(u±v)=du±dw d(uv)=vdu+udy (v(x)≠0)0 3.复合函数的微分法则④ (2)若y-f(u),u=p(x)函数f(W与p(x)可微Q 则y=f(p(x)可微 Edy=f(u)du-f(u)o'(x)dx

2.函数和、差、积、商的微分法则 d(u  v) = du  dv d(uv) = vdu + udv ( ) ( ( ) 0) 2  − = v x v vdu udv v u d 设u( x),v( x)是可导（可微）函数，则有 3.复合函数的微分法则 (2) 若y = f (u),u = (x) 且dy = f (u)du 函数f (u)与(x)可微, = f (u)(x)dx 则 y = f ((x)) 可微

三、课前思考问题④ 1证明函数y=f(x)在点x可微分的充分必要条件是 函数y=f(x)在点x可导，并且微分少=f'(x)△x 2推导并熟记基本函数的微分公式. 3如何计算由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的微分 ④ 4如何计算由参数方程X=p 所确定的函数y=f(x)的微分 (y=v(t)

三、 课前思考问题 3.如何计算由方程F( x, y) = 0所确定的隐函数 y = f ( x) 的微分 1.证 明函 数 y = f ( x)在 点 x可微分的充分必要条件是 函 数 y = f ( x)在 点 x可导，并且微 分 d y = f ( x)x 4.如何计算由参数方程   = = ( ) ( ) y t x t   所确定的函 数 y = f ( x) 的微分 2.推 导并熟 记基本函数的微 分公式