中国科学技术大学：几何建模与处理基础（PPT讲稿）细分曲线（主讲：刘利刚）

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细分曲线 GAMES 102在线课程：几何建模与处理基础

回顾：Bezier曲线的作图法 ·de Casteljau作图算法 ·几何直观性：逐步割角、磨光 ·类似于雕塑雕刻过程 “其实，这座雕塑本 来就在那里，我只 是将它多余的边边 角角去掉而已

回顾：Bezier曲线的作图法 • de Casteljau作图算法 • 几何直观性：逐步割角、磨光 • 类似于雕塑雕刻过程 “其实，这座雕塑本 来就在那里，我只 是将它多余的边边 角角去掉而已

问题 ·输入：一个简单多边形（控制多边形） ·输出：一条与之关联的光滑曲线

问题 • 输入：一个简单多边形（控制多边形） • 输出：一条与之关联的光滑曲线

启发：通过不断“割角”构造曲线？ ·给定一个简单多边形 ·通过一定规则，割角磨光，产生更多边的多边形 ·不断迭代操作割角磨光，产生（极限）光滑曲线

启发：通过不断“割角”构造曲线？ • 给定一个简单多边形 • 通过一定规则，割角磨光，产生更多边的多边形 • 不断迭代操作割角磨光，产生（极限）光滑曲线

细分方法的思想 两个步骤： ·拓扑规则：加入新点，组成新多边形(splitting) ·几何规则：移动顶点，局部加权平均(averaging) ·对所有顶点都移动：逼近型 ·只对新顶点移动：插值型 splitting averaging subdivision

细分方法的思想 两个步骤： • 拓扑规则：加入新点，组成新多边形 (splitting) • 几何规则：移动顶点，局部加权平均 (averaging) • 对所有顶点都移动：逼近型 • 只对新顶点移动：插值型 1. 2. 3. splitting averaging subdivision

Chaikin细分方法

Chaikin细分方法

Chaikin割角法[1974] ·每条边取中点，生成 Old vertex New vertex 新点 ·每个点与其相邻点平 均（顺时针） ·迭代生成曲线 1.Split 2.Average 3.Split 4.Average

Chaikin割角法[1974] • 每条边取中点，生成 新点 • 每个点与其相邻点平 均（顺时针） • 迭代生成曲线

Chaikin割角法[1974] ·拓扑规则： ·点分裂成边（割角），老点被抛弃 (逼近型) ·新点老点重新编号 ·几何规则：新顶点是老顶点的线性组合 V2i+1 V2i+2 V+1 -9 2:=4-1+ V 2i 新边点 V2i-1 2+1=+4y+1

Chaikin割角法[1974] • 拓扑规则： • 点分裂成边（割角），老点被抛弃（逼近型） • 新点老点重新编号 • 几何规则：新顶点是老顶点的线性组合 新边点

Chaikin细分曲线 初始多边形 细分一次 细分两次 细分三次 。可以证明： ·极限曲线为二次均匀B样条曲线 ·节点处C1,其余点处C∞

Chaikin细分曲线 • 可以证明： • 极限曲线为二次均匀B样条曲线 • 节点处𝐶ଵ，其余点处𝐶ஶ 初始多边形 细分一次 细分两次 细分三次

均匀三次B祥条曲线细分方法 ·拓扑规则：边分裂成两条新边 ·几何规则： 2=8y-1+:+gy+1 Vi V2i计1 V+1 2+1=)V?++1 V2i V2i-1 新边点 新点点 边分裂成新边

均匀三次B样条曲线细分方法 • 拓扑规则：边分裂成两条新边 • 几何规则： 边分裂成新边 新点点 新边点