《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第一章 函数与极限 第三节 函数的极限

高等数学教案 第一章函数与极限 第三节函数的极限 教学内容：函数极限定义以及性质。 教学目标：使学生建立起函数极限的准确概念：会用函数极限的定义证明函数极限等有 关命题。 教学重点：函数极限的概念 教学难点：函数极限的ε-6定义及其应用 教学方法：新课讲授法 作业：p381,2,3,4. 教学过程： 一、函数极限的定义 函数的自变量有儿种不同的变化趋势： x无限接近x0:x→x0, x从xo的左侧（即小于xo)无限接近x0:x→x0, x从和的右侧（即大于xo)无限接近x0:xxo, x的绝对值无限增大：x→0， x小于零且绝对值无限增大：x→0， x大于零且绝对值无限增大：x→+o. 1.自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义： 如果当x无限接近于x0,函数)的值无限接近于常数A,则称当x趋于xo时，x)以A为极 限.记作 limx)=A或fx)→A(当x→xo)为 分析：在xxo的过程中，x)无限接近于A就是x少A能任意小，或者说，在x与xo接近到 一定程度（比如-x水6δ为某一正数）时，x)-A可以小于任意给定的（小的）正数，即 x)-AkE.反之，对于任意给定的正数￡，如果x与接近到一定程度（比如-xk66为某 一正数)就有x)Aε，则能保证当xxo时，x)无限接近于A. 定义1设函数x)在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正数6使得当x满足不等式0<-x水kδ时，对应的函数值x)都满 足不等式x)-A<ε

高等数学教案 第一章函数与极限 那么常数A就叫做函数x)当xxo时的极限，记为 limf(x)=A或fx)>A(当xxo). x→n 定义的简单表述： l1imf(x)=A→>0,30，当00,可任取0，当00,要使x)-Ake,只要r-xdkE. 证明：因为Ve>0,38=6,当00,要使A水G,只婴x-号 证明：因为ve>0,3G628-号，当0-1k6时，有4(2x-1少-1=2-1ke 所以1im(2x-)=1. 2 例4.证明1im x2-1 分析：注意函数在x=1是没有定义的，但这与函数在该点是否有极限并无关系 当1陈，4小H2ve>0医使水e,只要-ke 证明因为ve>0,,当0-k6时，有4小告本-1c, 所以1im2- =2 1x-1 三、单侧极限： 2

高等数学教案 第一章函数与极限 若当xxo时，x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数x)当xxo时的左极限，记为 1imf(x)=A或xo)=A; x→a 若当xx时，x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数x)当xxo时的右极限，记为 limf(x)=A或x,)=A. 个1 x-.xo 讨论：1.左右极限的￡-6定义如何叙述？ 2.当xxo时函数x)的左右极限与当xxo =x+1 时函数x)的极限之间的关系怎样？ 提示：左极限的E-6定义： lim f(x)=AV6>0,36>0,Vx:xo-&x0,38>0,x:xo0 这是因为， i/)=lim(x-1)--1. lim f(x)=lim (x+1)=1, ￥0+ x0+ limf(x)≠limf(x). X0- x0t 四、自变量趋于无穷大时函数的极限 设x)当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数E,总存在着正数 X,使得当x满足不等式xPX时，对应的函数数值x)都满足不等式 f(x)-A<s 则常数A叫做函数x)当x→o时的极限，记为 limf(x)=A或x)→A(x→o). N》买 3

高等数学教案 第一章函数与极限 lim f(x)=A台Ve>0,3X0,当X时，有x)-<& 类似地可定义 lim f(x)=4 lim f(x)=4. N)+00 结论：limf(x)=A台lim f(x)=A且limf()=A. 十 极限limf(x)=A的定义的几何意义 0 A+6 y=f(x) A-8 X 例6.证明1im1=0 分折：4H司Y0医使水c,只中号 正明：因为N8x合0，当冲X时，有-付-8， 所以im上=0. xx 直线=0是函数y}的水平渐近线 一般地，如果Iimf(x)=c,则直线y=c称为函数=x)的图形的水平渐近线. 五、函数极限的性质 定理1（函数极限的唯一性） 如果极限imf(x)存在，那么这极限唯一. 定理2（函数极限的局部有界性） 如果x)→A(cxo),那么存在常数0和6使得当0<本-xdk6时，有x)≤M. 证明因为x)→Axxo),所以对于&=1,30，当0<本-xk6时，有 4

高等数学教案 第一章函数与极限 x)-A0(或A0(或 fx)0的情形证明. 因为mf=A,所以对于6=，36>0，当04-水8时，有 -4水6=号4fe-号0 定理3 如果)--040，那么存在点n的某一去心邻域，在该邻域内，有fpA利。 推论如果在的某一去心邻域内x)≥0（或x)s0),而且x)→Ax→xo),那么A≥0（或A≤0）. 证明：设fx)≥0.假设上述论断不成立，即设A0,38>0,当00,3VeN,当>N时，有xw-xdk6. 由假设，xn≠xo(n∈N.故当>N时，0<m一xk6,从而x)-A<e,即 lim f(x)=lim f(x) 》x 5