同济大学：《高等数学》课程教学资源（预习PPT讲稿）第二章 导数与微分 第四节 隐函数参数函数导数

第四节、隐函数与参数方程所确定函数的导数 一、 基本概念 1.由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数 2.由参数方程x=(0 所确定的函数y=f(x)的导数. [y=v(t)

一、 基本概念 第四节、隐函数与参数方程所确定函数的导数 1.由方程F( x, y) = 0 所确定的隐函数 y = f ( x)的导数. 2.由参 数方 程   = = ( ) ( ) y t x t   所确定的函 数 y = f ( x)的导数

二、 定理与性质( 由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数.④ 例如求曲线x-2e-+y+y3=1在(1,1)点的切线方程. 由方程x-2-1+y+y3=1确定了函数y=y(x) 方程两边对x求导得01-2e-+y'+3y2y'=0 解得导数y' 2et由八w=4e 1+3y2 得到曲线在(，1)点的切线方程y-1=cx-)《

二、 定理与性质 例如 求曲线 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 在(1,1)点的切线方程. 1. 由方程F( x, y) = 0 所确定的隐函数 y = f ( x)的导数. 由方 程 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 确定了函数 y = y( x) 方程两边对x 求导得 1 2 3 0 1 2 − +  +  = − e y y y x 解得导数 2 1 1 3 2 1 y e y x + −  = − ， 由 4 1 (1,1) y = 得 到曲线在(1,1)点的切线方程 ( 1) 4 1 y − 1 = x −

例如求由方程x-2e-+y+y3-1所确定的函数y=y(x) 的二阶导 d乃y dx2 方程两边对x求导得04-2e-1+y'+3y2y=00 解得导数y= 2e--1 1+3y2 (10 (1)式两边再对x求导得 y=2e1+3y)-(2e-10+3yy4 (1+3y2)4

例如 求由方程 2 1 1 3 − + + = − x e y y x 所 确 定的函 数 y = y( x) 方程两边对x 求导得 1 2 3 0 1 2 − +  +  = − e y y y x 解得导数 2 1 1 3 2 1 y e y x + −  = − （1） (1)式两边再对 x 求导得 的二阶导数 2 2 dx d y 2 4 1 2 1 2 (1 3 ) 2 (1 3 ) (2 1)(0 3 ) y e y e y y y x x + + − − +   = − −

y2eu+3y-时 (1+3y2)4 2e1+3y)-(2e1-13y.2e-1 1+3y2 (1+3y2)4

2 4 1 2 1 2 (1 3 ) 2 (1 3 ) (2 1)3 y e y e y y y x x + + − −   = − − =  + + − + − −  = − − − 2 4 2 1 1 2 1 2 (1 3 ) 1 3 2 1 2 (1 3 ) (2 1)3 y y e e y e y x x x 2 1 1 3 2 1 y e y x + −  = −

2.由参数方程r=p0 所确定的函数y=y(x)的导数. y=v(t) 设单调连续函数x=p(t)具有反函数t=p(x), 函数x=p(t),y=w(t)都可导且p'()≠0， 则y=y(p(x)=y(x)是可导的，0 由复合函数及反函数的求导法则④ 少=少.h=.1y'( dx dt dx dt dx o'(t) dt

2.由参 数方 程   = = ( ) ( ) y t x t   所确定的函 数 y = y( x)的导数. 函数x = (t), y =(t)都可导, 且(t)  0, 则y =( −1 (x)) = y(x)是可导的， 由复合函数及反函数的求导法则 dx dt dt dy dx dy =  dt dt dx dy 1 =  ( ) ( ) t t     = ( ) ( ), 1 x t t x − 设单调连续函数 =  具有反函数 = 

阁阳.则类喻=与数 dx 狼兴 第点-a安 ewh-fo0 dt

( ) ( ( )) 2 2 f t dx d dx dy dx d dx d y = = dx dt f t dt d = ( ( )) 记 ( ) ( ) ( ) f t t t dx dy =   =   ， 则 y对 x的二阶导 数 ( ) 1 ( ) t f t  =   dt dx f t dt d 1 = ( ( ))

例如：求由参数方程 x=1+t3 所确定函数y=f(x)的导数 y=t+Int 1+ 阶导数 4-0 t+1 dx x,(t) 3t2 3t3 二阶导数 'y- 2{ 2=+3列 90

例如：求由参 数方 程    = + = + y t t x t ln 1 3 所确定函 数 y = f ( x)的导数. 一阶导数 ( ) ( ) x t y t dx dy t t   = 2 3 3 1 3 1 1 t t t t + = + = 二阶导数 ) 3 1 ( 2 3 2 t t dx d dx d y + = xt t t dt d   + = 1 ) 3 1 ( 3 (2 3) 9 1 3 1 ) 2 3 ( 3 1 3 4 2 6 = − −  = − t + t t t t

三、课前思考问题 1.设0(t),w(t)二阶可导，若 o网 确定函数y=y(x) 证明 d2y_v"(t)p'()-'(t)p"( 其中p'(t)≠0， p3(t) 2.设y=y(x)由方程y+e-=x2+1确定，求 dy dx2 x-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   证明 = 三、 课前思考问题 1.设(t), (t)二阶可导，若    = = ( ) ( ) y t x t   确定函数 y = y( x) 2.设 y = y( x)由方程 1 1 2 + = + − y e x y 确 定， 求 1 2 2 x= dx d y 其中(t)  0