同济大学：《高等数学》课程教学资源（预习PPT讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何 第五节 曲面及其方程

第五节曲面及其方程 一、掌握旋转曲面及其方程、柱面及其方程 二、掌握二次曲面及其方程

第五节 曲面及其方程 一、掌握旋转曲面及其方程、柱面及其方程 二、掌握二次曲面及其方程

一、旋转曲面及其方程、柱面及其方程 1,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周 所成的曲面叫做旋转曲面， 旋转曲线和定直线依次叫做 旋转曲面的母线和轴

一、旋转曲面及其方程、柱面及其方程 旋转曲面的母线和轴. 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周 旋转曲线和定直线依次叫做 所成的曲面叫做旋转曲面， C 1. 定义：

设在yOz坐标面上有-曲线C:∫(2=0,4 将C绕z轴旋转就得到一个 以z轴为旋转轴的旋转曲面， 其方程为/+少过=0.非

设在 yOz 坐标面上有一曲线C f y z : , 0 ( ) = ， 将C 绕 z 轴旋转就得到一个 ( ) 2 2 其方程为 f x y z  + = , 0 . O y z x M M1 C 以 z 轴为旋转轴的旋转曲面

课前思考问题： (1)求yOz坐标面上的曲线C:∫(y,2)=0绕y轴 旋转所成的旋转曲面方程，以及画此图形，等等？ (2)求xOy坐标面上的曲线C:∫(xy)=0绕直线 y=@+b旋转所成的旋转曲面方程，以及画此图形？

课前思考问题： （1）求 yOz 坐标面上的曲线C f y z : , 0 ( ) = 绕 y 轴 旋转所成的旋转曲面方程， （2）求 xOy 坐标面上的曲线C f x y : , 0 ( ) = 绕直线 y kx b = + 旋转所成的旋转曲面方程，以及画此图形？ 以及画此图形，等等？

2.定义，直线沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面， 定曲线C称为柱面的准线动直线称为柱面的母线

2. 定义：直线沿定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面， 定曲线C 称为柱面的准线， 动直线称为柱面的母线

般地，只含x、y而缺：的方程F(x,)=0在空间 直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为 xOy平面上的曲线C:F(x,y)=0. 课前思考问题： (1)画此柱面？ (2)柱面方程都缺一个变量吗？ 若不是，如何求柱面方程？

xOy 平面上的曲线C F x y : , 0 ( ) = . 直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 一般地，只含 x 、 y 而缺 z 的方程 F x y ( , 0 ) = 在空间 课前思考问题： （1）画此柱面？ （2）柱面方程都缺一个变量吗？ 若不是，如何求柱面方程？

二、二次曲面及其方程 1.椭圆锥面 y- b灵 2。椭球面 1 中双回益专

二、二次曲面及其方程 3．单叶双曲面 2 2 2 2 2 2 1 x y z abc + − = 1．椭圆锥面 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + = 2．椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + =

4.双叶双曲面 a 5.椭圆抛物面 6.双曲抛物面（马鞍面）

6．双曲抛物面（马鞍面） 2 2 2 2 x y z a b − = 4．双叶双曲面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c − − = 5．椭圆抛物面 2 2 2 2 x y z a b + =

7.椭圆柱面 8,双曲柱面 9.抛物柱面 课前思考问题： 如何由方程画其图形？

7. 椭圆柱面 如何由方程画其图形？ 8. 双曲柱面 课前思考问题： 9. 抛物柱面