《高等数学》课程教学资源：第九节 函数的连续性与间断点

第九节函数的连续性与间断点 巴一、函数的连续性 四二、函数的间断点 巴三、小结思考题

王-、函数的连续性 1函数的增量 设函数f(x)在U(x内有定义Vx∈U(x △=x-x0,称为自变量在点x的增量 午4=f(x)-f(x称为函数f(x相应于A的增量 J 工工工 y=f(x) y=f(r) △ △ △x : Ax 00+△rx 0 x0+△xx 上页

一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x  = −     ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)

王2,连续的定义 王定义1设函数(x)在O(x)内有定义如 果当自变量的增量Ax趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即lm△y=0或 △r→>0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→>0 工工工 f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=f(x)-f(x), △x→>0就是x→x,Ay→0就是f(x)→f(x

2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0  =  → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 +  − =  → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为f (x) 的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f

庄定义2设函数f()在U(x)内有定义如果 函数f(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 王点x处的函数值(x),即lmfx)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "E-8"定义: VE>0,3δ>0,使当x-x<δ时, 生恒有/()-f(x)a 上页

定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) U x0 内有定义,如 果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0     −      −  f x f x x x 恒有 使当 时

A例1试证函数f(x) rsIn xx≠0在x=0 0 =0 处连续 中证∵ lim x sin-=0, x→0 又∫()=0,imf(x)=f(0) 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续 上页

例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 =     =  = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x  又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →

3单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x-0)=f(x0) 则称f(x)在点x处左连续; 若函数f(x)在x0,b)内有定义,且f(x0+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 王定理函数f()在x处连续分是函数/x在x 工工 处既左连续又右连续 上页

3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x

x+2,x≥0 上例2讨论函数f(x)=1x-2,x<0在x=0处的 连续性 解imf(x)=i(x+2)=2=f(0), lim f(x)=lim(x-2)=-2*f(o), →0 →0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续 上页

例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的    −  +  = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续

4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b内连续,并且在左端点 牛x=a处右连续,在右端点x=b处左连续则称 工工工 函数f(x)在闭区间[a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理函数在区间(+)内是连续的 上页

4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的

生例证明函数→x在区间(+内连续 证任取 x∈(-∞,+o), Ay=sin(x+△x)-sinx=2sn△x △ c0s(x+~) 2 2 △v co(x+)≤1,则△≤2sin 2 42 对任意的a,当≠0时,有sin<a, 故y≤2sin,<△x,:当△x→Q时,Ay→0 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+∞)都是连续的 上页 圆

例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x   +  = ) 1, 2 cos(   + x  x . 2 2sin x y  则   对任意的 ,当   0时, 有sin  , , 2 2sin x x y    故   当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的

生三、函数的间断点 A函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件: (1)f(x)在点x0处有定义 (2)limf(x)存在; y→x 0 (3)lim∫(x)=∫(x0) x→>xo 牛如果上述三个条件中要有一个不满足则称 函数f(x)在点x处不连续(或间断,并称点x为 f(x)的不连续点或间断点) 上页

二、函数的间断点 ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 称 f x f x x x