《高等数学》课程教学资源：第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节连续函数的运算 与初等函数的连续性 巴一、四则运算的连续性 巴二、反函数与复合函数的连续性 巴三、初等函数的连续性 四四、小结思考题

、四则运算的连续性 定理1若函数(x,g8x)在点x处连续 则f(x)±g(x),f(x)·8(-,f(x) (g(x0)≠0) g(x) 在点x处也连续 工工 例如,sinx,cosx在(-∞,+0)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 上页

一、四则运算的连续性 定理1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x    例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续

三、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 牛例如,y=sin在?,y上单调增加且连续 故y= arcsinx在-1,1上也是单调增加且连续 中同理= arccos EEL1单调减少且连续 生y= arctan, y=arccot a在-+l上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 上页

二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续   y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续

定理3若limp(x)=a,函数f()在点a连续, →x 则有 lim flp(x)=f(a)=∫limq(x) x→>x0 证f(l)在点u=a连续, VE>0,彐m>0,使当u-a0,彐8>0,使当0<x-x<6时, 上页

定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x  = =   = → → → 则 有 若 函 数 在 点 连 续 证  f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时     −      −  f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又  0, 0, 0 , 对于    使当  x − x0   时

王恒有)-4=4成立 生将上两步合起来 VE>0,38>0,使当0x0 上页

恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 ,      使当  x − x0   时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a)   成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x  = →  [lim ( )]. 0 x x x  → =

意义1极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换=p(x)理论依据 nu+x 例1求im 工工工 解原式= limIn(1+x) 一0 In[lim(1+x)=Ine=1 上页

意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u = (x))的理论依据. 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + 求 → = 1. x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne 解

例2求 e l 解令ex-1=y,则x=ln(1+y), 当x→>0时,y→0 原式=mim、y=lim1,=1 y→ln(1+y) y→>0 In(1+y) 同理可得im =In a x→>0xC 上页

例2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 = 1. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式 解 e 1 y, x 令 − = 则 x = ln(1 + y), 当x → 0时, y → 0. y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − →

王 定理4设函数n=0(x)在点x=x连续,且 (x)=l,而函数y=f(m)在点n=连续 则复合函数y=/p(x)在点x=x也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,u=在(-,0)儿U(0,+∞)内连续, 工工 y=sinn在(-∞,+∞)内连续, y=sin在(-∞,0)∪(0,+∞)内连续 上页

[ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 则复合函数 在 点 也连续 而函数 在 点 连 续 设函数 在 点 连 续 且 y f x x x x u y f u u u u x x x =  =  = = = 定理4 =  = 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 −   +  内连续 x u y = sinu 在(−, + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1  = sin 在 −   +  内连续 x y

生三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 王★指数函数y=a(a>0,a≠0 在(-0,+0)内单调且连续 ★对数函数y=gx(>0a≠ 在(0,+0)内单调且连续; 上页

三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ ★ y = a (a  0, a  1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a  0, a  1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续;

庄★y=x"=0m-y=x,u=ml, 在(0,+∞)内连续,讨论不同值, (均在其定义域内连续) 定理5基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连 续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 上页

定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★  y = x a x a  log = , u y = a u log x. =  a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间