《高等数学》课程教学资源：第四节 初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数

第四节初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数 巴一、初等函数的求导问题 巴二、双曲函数与反双曲函数的导数 巴三、小结思考题

-、初等函数的求导问题 c1常数和基本初等函数的导数公式 (C)=0 dark-I (sin x)=cosx (cos x =-sinx (tan x)=sec x (cot x =-csc x 工工工 (sec x)=sec xtanx (csc x)=-cscx cot x (a y=a Ina e=e sats og (In x) rna 上页

一、初等函数的求导问题 x x x x x x x C (sec ) sec tan (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 2  =  =  =  = 1.常数和基本初等函数的导数公式 x x x x x x x x x (csc ) csc cot (cot ) csc (cos ) sin ( ) 2 1  = −  = −  = −  =  −  x a x a a a a x x ln 1 (log ) ( ) ln  =  = x x e e x x 1 (ln ) ( )  =  =

1 (arcsinx)'=1+e (arccosx)==1 (arctan)=I (arccot x) 1+x 2 2 1+x 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x)v=v(x)可导,则 工工工 (1)(u±v)’=n'±v,(2)(cn)=cn’(C是常数) (3)(u)y=uv+u,(4)(fy= uy=uy 2(v≠0) 上页

2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) x x x x +  = −  = 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) x x x x +  = − −  = − arc 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u = u( x), v = v( x)可导，则 （1） u v  = u  v  ( ) , （2） cu  = cu  ( ) （3） uv  = u  v + uv  ( ) , （4）( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u .   ( C 是常数)

3复合函数的求导法则 设y=f()2而=q(x)则复合函数y=fp(x) 导数为 dy de 或y(x)=f(u)·g(x) dx du dx 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决 c注意:初等函数的导数仍为初等函数 上页

3.复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x    =   =    = = = 导数为 或 设 而 则复合函数 的 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数

例1求函数y=x+x+x的导数 解y (x+√x+√x) 2√x+√x+√x = (1+ (x+√x)) 2√x+√x+√x2√x+√x 1 1 (1+ (1+) 2x+√x+、x2√x+√x2√x 4√x2+x√x+2√x+1 8√x+√/x+√x·√x2+x√x 上页

例 1 求函数 y = x + x + x 的导数. 解 ( ) 2 1 + +  + +  = x x x x x x y ( ) ) 2 1 (1 2 1 +  + + + + = x x x x x x x )) 2 1 (1 2 1 (1 2 1 x x x x x x + + + + + = . 8 4 2 1 2 2 x x x x x x x x x x + +  + + + + =

例2求函数y=f"|q"(sinx")的导数 解y'=nfnp"(sinx")·f'p"(sinx" nq"(sinx"):q(sinx")·cosx"·nx n-1 =n· cos x "·f"qp"(sinx")l φp"(sinx")·f'p"(inx")p'(sinx") 上页

例 2 求函数 [ (sin )]的导数. n n n y = f  x 解 [ (sin )] [ (sin )] n 1 n n n n y = nf  x  f   x − (sin ) (sin ) n 1 n n  n x   x − 1 cos −   n n x nx (sin ) [ (sin )] (sin ). cos [ (sin )] 13 1 1 n n n n n n n n n n x f x x n x x f x       =     − − −

二、双曲函数与反双曲函数的导数 (Sinh x)=coshx(cosh x)'=sinh x tanhrs sinh cosh cosh x-sinhx ∴( tanh x)= cost x 即( tanh x)= cosh 上页

二、双曲函数与反双曲函数的导数 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x x x x cosh sinh tanh = x x x x 2 2 2 cosh cosh sinh (tanh ) −   = 即 x x 2 cosh 1 (tanh ) =

arsinh x=ln(x+√1+x2) 2 T:(arsinh x (x+√1+x2) 2 x+√1+x ,(1+ x+√1+x 2 √1+x 生同理( arcoshx)=~31 (artanh x) 2 上页

同理 ) 1 (1 1 1 2 2 x x x x + + + + = 2 1 1 + x = 1 1 2 − = x 2 1 1 − x = sinh ln( 1 ) 2  ar x = x + + x 2 2 1 ( 1 ) ( sinh ) x x x x x + + + +   ar  = ( arcosh x) ( artanh x)

例3求函数y= arctan(anhx)的导数 解y= (tanh x) 1+ tanh 1 1+ tanh-x cosh x sinh cosh= x 2 cosh x coshx+sinha 1+2sinh= x 上页

例 3 求函数 y = arctan(tanh x)的导数. 解 (tanh ) 1 tanh1 2   +  = x x y x x 2 2 cosh1 1 tanh1  + = x xx 2 22 cosh1 cosh sinh 1 1  + = x x 2 2 cosh sinh 1+ = . 1 2sinh 1 2 + x =

生三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出 关键:正确分解初等函数的复合结构 上页

三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构