《数学模型》课程教学资源（课件讲稿）第三章 简单的优化模型

(数学模些) 第三章简单的优化模型 3.1存贮模型 3.2生猪的出售时机 3.3森林救火 34最优价格 35血管分支 36消费者均衡 3,7冰山运输

第三章 简单的优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输

(数学模些) 静忞优化模型 ·现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数(不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法

静态优化模型 • 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数 (不是函数 ) • 建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法

(数学模些) 31存贮模型 问题 配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备 要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付贮存费 该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。 今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元, 贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多 天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。 要求 不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、 准备费、贮存费之间的关系

3.1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备 要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付贮存费。 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元， 贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少 天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、 准备费、贮存费之间的关系

(数学模些) 问题分析与思考 日需求100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元。 每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元,故 每天费用为5000元 ·10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+.+100=4500 元,准备费5000元,总计9500元。 平均每天费用为950元 50天生产一次,每次5000,贮存费4900+4800+…+100 122500元,准备费5000元,总计127500元。 平均每天费用为2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗?

问题分析与思考 日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件 1元。 • 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故 每天费用为5000元。 • 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。 平均每天费用为950 元 • 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。 平均每天费用为2550 元 10天生产一次平均每天费用最小吗 ?

(数学模些) 问题分析与思考 周期短,产量小 贮存费少,准备费多 周期长,产量大 准备费少,贮存费多 存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小 这是一个优化问题,关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数—每天总费用的平均值

问题分析与思考 • 周期短，产量小 贮存费少，准备费多 • 周期长，产量大 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 • 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数——每天总费用的平均值

(数学模些) 模型假设 1.产品每天的需求量为常数r; 2每次生产准备费为c,每天每件产品贮存费为c2; 3.T天生产一次(周期),每次生产Q件,当贮存量 为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计); 4.为方便起见,时间和产量都作为连续量处理 建模目的 设xc,a2已知,求7,Q使每天总费用的平均值最小

模型假设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 建模目的 设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小

(数学模些) 模型建立 离散问题连续化 贮存量表示为时间的函数q() =0生产Q件,q(0)=Q,q(以 需求速率递减,q(T=0 A=0T/2 92=PT 0 T 周期贮存费为 rT 周期 C1+ T=c+c c2Jq()t=c2A总费用 2 每天总费用平均 rT 值(目标函数) C(T)==+ TT 2

0 t q T Q r T Q C c c 2 ~ = 1 + 2 离散问题连续化 A=QT/2 2 2 1 2 rT = c + c 模型建立 贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. Q = rT c q t dt c A T 2 0 2 ∫ ( ) = 一周期贮存费为 一周期 总费用 2 ~ ( ) 1 2 c rT Tc TC C T = = + 每天总费用平均 值（目标函数）

数学模些) C CrT 模型求解求T使C(T)=+ 2>Min d c =0 C 2c Cir Q=rT 模型分析 G个→T;Q个 21→7,↓ r个→7Q个 模型应用 c1=5000元),c2=1(元/天件),r=100(件天) ·回答问题T=100),Q=10009,C=1000

Min c rT T c C T = + → 2 ( ) 求 1 2 模型求解 T 使 = 0 dT dC 2 2 1 c c r Q = rT = 2 2 1 rc c T = 模型分析 c ↑⇒ T,Q↓ r ↑⇒T ↓,Q↑ c1↑⇒T,Q↑ 2 模型应用 c1=5000(元), c2=1(元/天•件), r=100(件/天） • 回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)

(数学模型 经济批量订货公式(EOQ公式) 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量r,每次订货费c1,每天每件贮存费c2, T天订货一次(周期),每次订货Q件,当贮存量降到 零时,Q件立即到货。 2c T Q=rT Cr 2 不允许缺货的存贮模型 °问:为什么不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑?

• 经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。 2 2 1 rc c T = 2 2 1 c c r Q = rT = 不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？

(数学模些) 允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货,造成损失 QrT 原模型假设:贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货) 现假设:允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足 周期T,仁T贮存量降到零 贮费cq()dh=c:A 周期总费用 周期 缺货费 g Gr q(d=gB C=G+s @T+41(7-A)

A 0 B q Q r T1 T t 1 Q = rT 允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货) 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 周期T, t=T1贮存量降到零 c q t dt c A T 2 0 2 1 ∫ ( ) = 一周期 贮存费 2 ( ) 2 2 1 3 1 1 2 r T T c QT C c c − = + + 一周期总费用 c q t dt c B T 3 T 3 1 一周期 ∫ ( ) = 缺货费