《高等数学》课程教学资源：第五节 无穷小与无穷大

第五节无穷小与无穷大 巴一、无穷小 巴二、无穷大 巴三、无穷小与无穷大的关系 四四、小结思考题

无穷小 平1定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 生总存在正数8(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 ∫(x)都满足不等式f(x)<E, 那末称函数f(x)当x→x(或x→)时为无穷小 记作Iimf(x)=0(或limf(x)=0 x→x 0 x→ 上页

一、无穷小 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式  −   0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x)  , 那末 称函数 f ( x)当x → x0 (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小

例如, 王 lm sinx=0,∴函数业mx是当x→时的无穷小 i1=0,∴函数是当x→∞时的无穷小 n lim =0:数列(是当n→时的无穷小 n→00 n n 王注意1无穷小是变量不能与很小的数混淆 2零是可以作为无穷小的唯一的数 上页

例如, limsin 0, 0 = → x x  函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x  . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n  } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 −  n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数

2无穷小与函数极限的关系 定理1limf(x)=Af(x)=A+a(x) x→>x0 王其中(x)是当x→x时的无穷小 证必要性设limf(x)=A,令a(x)=∫(x)-A, x→x0 则有ima(x)=0,∴∫(x)=A+a(x) x→x0 充分性设∫(x)=A+a(x) 其中a(x)是当x→x时的无穷小, 则im∫(x)=lim(A+a(x)=A+lima(x)=A x→>x0 x→ x→>xo 上页

2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0  = → x x x 则有  f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = +  → → 则 lim ( ) 0 A x x x = +  → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x =  = +  → 其中(x)是当x → x0时的无穷小

意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 ∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 证设a及β是当x→o时的两个无穷小, Ve>0,3N1>0,N2>0,使得 上页

意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x  误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小,    0,N1  0, N2  0,使得

生当>N时恒有a2:当x>N时恒有N时恒有 a土β≤a+β<+ 22 C±β→0(x→0) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如,n→∞时,是无穷小, n 但n个之和为不是无穷小 上页

; 2 1  当 x  N 时恒有   ; 2 2  当 x  N 时恒有   max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x  N时,恒有      +  2 2  +   = ,    → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , →  , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 王证设函数在U(x,6内有界, 则M>0,81>0,使得当0x0时的无穷小 王:ve>0,382>0使得当0<x=x1k<8时 王恒有< M 上页

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x       −   恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x         −   恒 有 使得当 时

取8=min{81,823,则当0<x-x0<8时,恒有 u·ol=a·a<M 8 =E, M 王∴当x→x时,4:a为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 工工工 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如当x→0时,xsin1 2 arctan都是无穷小 上页

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取  =   则当0  x − x0  时,恒有 u  = u   M M    = , , . 当x → x0时 u  为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小

生二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么 小,总存在正数8(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,所对应的函数 工工工 值∫(x)都满足不等式f(x)>M, A则称函数∫(x)当x→x0(或x→)时为无穷小 记作limf(x)=(或lim∫(x)=∞) →0 上页

二、无穷大 定 义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么 小),总存在正数(或正数X ),使得对于适合不等式  −   0 0 x x (或 x X )的一切x ,所对应的函数 值 f ( x)都满足不等式 f ( x)  M , 则称函数 f ( x)当 0 x → x (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 =  =  → → f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大

特殊情形:正无穷大,负无穷大. im∫(x)=+∞(或lim∫(x)=-0) (x→>∞) (x→∞) 王注意1无穷大是变量不能与很大的数混瀚 2切勿将lm∫(x)=∞认为极限存在 x→>x0 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大 上页

特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = +  = −  → → → → f x f x x x x x x x 或 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 2. lim ( ) . 0 切勿将 = 认为极限存在 → f x x x