《高等数学》课程教学资源：第五节 函数的极值及其求法

第五节函数的极值及其求法 函数极值的定义 四二、函数极值的求法 巴三、小结思考题

、函数极值的定义

一、函数极值的定义 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x

王定义设函数/(x)在区间a内有定义x是 上(ab内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)f(x0)均成立就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得 极值的点称为极值点 上页

( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x   定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点

二、函数极值的求法 平定理1必要条件)设f(x)在点xn处具有导数且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 工工工 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,y1x=0=0,但x=0不是极值点 上页 圆

二、函数极值的求法 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f  x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点

王定理2(第一充分条件) A(1)如果x∈(x0-6,x),有f(x)>0而x∈(xx+6), 有f(x)0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x02x0+δ)时,f(x) 工工工 符号相同,则f(x)在x处无极值 十 0 x 0 (是极值点情形)

(1)如果 ( , ), x  x0 −  x0 有 ( ) 0; ' f x  而 ( , ) x  x0 x0 +  , 有 ( ) 0 ' f x  ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x  x0 −  x0 有 ( ) 0; ' f x  而 ( , ) x  x0 x0 +  有 ( ) 0 ' f x  ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x  x0 −  x0 及 ( , ) x  x0 x0 +  时, ( ) ' f x 符号相同,则f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)

0 0 (不是极值点情形) 求极值的步骤 (1)求导数∫(x); 生()求驻点,即方程f(x)=0的根 c(3)检查∫(x)在驻点左右的正负号判断极值点 (4)求极值 上页

x yo x yo 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤 : (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形 )

士 例1求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解∫(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x|(-∞,-1)-1(-13)3(3,+∞) ∫(x)+ 0 0 极大值 极小值 个 极大值∫(-1)=10,极小值f(3)=-22 上页

例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f  x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f  ( x ) f ( x ) + − +  0 0   极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)

f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 M -10 -15 上页

( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下

定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数 且f(x)=0,f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极小值 证(1)∵∫"(xn)=im f(xo +Ar)-f(o) f(x)=0, c当△x>Q时,有r(xn+△)<f(xn)=0, 所以,函数f(x)在x0处取得极大值 上页

设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x  , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x  时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0  0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 所以,函数 f (x)在x0处取得极大值

例2求出函数f(x)=x3+3x2-24x-20的极值 解f(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2) 王令f(x)=0,得驻点x=4,2=2 ∵f"(x)=6x+6, ∫"(-4)=-180,故极小值∫(2)=-48. f(x)=x3+3x2-24x-20图形如下 上页

例2 解 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 ( ) 3 6 24 2 f  x = x + x − 令 f (x) = 0， 4, 2. 得驻点 x1 = − x2 = = 3(x + 4)( x − 2)  f (x) = 6x + 6,  f (−4) = −18  0, 故极大值 f (−4) = 60, f (2) = 18  0, 故极小值 f (2) = −48. ( ) 3 24 20 3 2 f x = x + x − x − 图形如下