《高等数学》课程教学资源：第八节 函数图形的描绘

第八节函数图形的描绘 四 渐近线 巴二、图形描绘的步骤 巴三、作图举例 巴四、小结思考题

、渐近线 定义:当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线 移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离 庄趋向于零那么直线L就称为曲线P=f(的 一条渐近线 工工工 1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线 如果im∫(x)=∞或i∫(x)=∞ x→>x0 x→x 那么x=x就是y=f(x)的一条铅直渐近线 王页下

一、渐近线 定义: . , ( ) , ( ) 一条渐近线 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 当曲线 上的一动点 沿着曲线 L y f x P L y f x P = = 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那么 就是 的一条铅直渐近线 如果 或 x x y f x f x f x x x x x = = =  =  → + → −

例如y= (x+2)(x-3) 2 有铅直渐近线两条:x=-2,x=3. 上页

例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3

2水平渐近线(平行于x轴的渐近线 如果lim∫(x)=b或limf(x)=b(b为常数) x→+ x→-0 生那么=b就是y=/(的条水平渐近线 例如y= arctan, 工工工 有水平渐近线两条 5 T T J=,y= 2 上页

2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那么 就是 的一条水平渐近线 如果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+  →−  例如 y = arctanx, 有水平渐近线两条: . 2 , 2  = −  y = y

3斜渐近线 如果limf(x)-(ax+b=0 x→+0 或im∫(x)-(ax+b)=0(a,b为常数) 王那么p=ax+b就是p=f(x)的一条斜渐近线 斜渐近线求法 王m/()=a,m(x)-ay-b x→0 牛那么y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线 王页下

3.斜渐近线 ( ) . lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) lim [ ( ) ( )] 0 那么 就是 的一条斜渐近线 或 为常数 如果 y ax b y f x f x ax b a b f x ax b x x = + = − + = − + = →−  →+  斜渐近线求法: , ( ) lim a x f x x = → lim[ f (x) ax] b. x − = → 那么 y = ax + b 就是曲线 y = f (x)的一条斜渐近线

王注意如果 ()lim f(x) 不存在 x→0 (2)hmf(x)=a存在,但imf(x)-不存在, x→ x→0 可以断定y=f(x)不存在斜渐近线 工工工 例1求f(x)= 2(x-2)(x+3) 的渐近线 x-1 解D:(-∞,)∪(1,+∞) 上页

注意: ; ( ) (1) lim 不存在 如果 x f x x→ , lim[ ( ) ] , ( ) (2) lim a 存在 但 f x ax 不存在 x f x x x = − → → 可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线. 例1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 D :(−,1)(1,+)

lim f(x)=-o0, lim f(x)=+o0, x x=1是曲线的铅直渐近线 又∵lim f(x) =im 2(x-2)(x+3) =2, x→0 x→0 yC(x一 1) 2(x-2)(x+3) 2x] xlr 1) 2(x-2)(x+3)-2x(x-1) m x→0 y=2x+4是曲线的一条斜渐近线 上页

= → + lim ( ) 1 f x x  − , = → − lim ( ) 1 f x x + ,  x = 1是曲线的铅直渐近线. = → x f x x ( ) 又lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + → x x x x x = 2, 2 ] ( 1) 2( 2)( 3) lim[ x x x x x x − − − + → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x = 4,  y = 2x + 4是曲线的一条斜渐近线

f)=2x-31x+的两条渐近线如图 x-1 y 100 50 4 2 -50 100 上页

的两条渐近线如图 1 2( 2)( 3) ( ) − − + = x x x f x

二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形 第一步确定函数y=f(x)的定义域对函数进行奇 王偶性、周期性:、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x); 工工工 第二步求出方程f(x)=0和f(x)=0在函数定义 王域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 上页

二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数y = f (x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间

第三步确定在这些部分区间内f(x)和∫(x)的符 号,并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 生凸与拐点(可列表进行讨论) 上第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势 王第五步描出与方程∫(x)=0和广(x)=0的根对 应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形 上页

第三步 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形