《高等数学》课程教学资源：第七节 极限存在准则两个重要极限

第七节极限存在准则 两个重要极限 极限存在准则 两个重要极限 三、小结思考题

、极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列xn,yn及zn满足下列条件 (1) Usx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y =a, lim zn=a, n→ n→0 那末数列x的极限存在,且imxn=a 中证∵yn→a,zn→a VE>0,N1>0,N2>0,使得 上页

一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = =   = → →  那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a,  n → n →    0, N1  0, N2  0, 使得

当n>N时恒有yn-aN时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤x,≤zn<a+E, 即xn-a<成立,:mxn=a 王上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 王页下

, 1 n  N y − a   当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n  N时, 恒有 a −   y  a + , 即 n , 2 n  N z − a   当 时恒有 n a −   z  a + , n 上两式同时成立, a −   y  x  z  a +  , n n n 即 x − a   成立, n lim x a. n n  = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则′如果当x∈U(xn)(或x>M)时有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→x0 (x→>∞) x→∞0) 那末lm∫(x)存在,且等于A (x→>0) 准则和准则称为夹逼准则 午注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出y与, 并且yn与zn的极限是容易求的 上页

准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x  M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = =   → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 和准则 '称为夹逼准则

1 中例1求im( ∴十 n→0 +1√n2+2 2 √n+n n2+nn2+1×1 n 解 < < n2+n√n2+1 1 又lm n→oyn2+n =lm;=1, n→0 2,=m1々 n→0 n2+1 1k=1,由夹逼定理得 n m 十 ∴ n→0 √n2+1n2+2 nt n 王页下

例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求  解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 +  + + + +  + n n n n n n n n   n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n 

2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x 2 ≤x.<x n+1 ≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn+1≥…,单调减少 工工工 准则|1单调有界数列必有极限 几何解释: xx2 xxrnxn+l A x 上页

x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1  x2  xn  xn+1   单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M

王例2证明数列x=3+3+…+3(m重根 式的极限存在 证显然xm>xn,∴{xn}是单调递增的; 又:x1=√3<3,假定xk<3,x1=3+xk<3+3<3, 午∴}是有界的;x存在 工工工 xH=√3士刈2=3+x, lim nt≈lim(3+xn) n+1 n→0 A=3+A,解得A 1+√13 1-√13 4= 2 2(舍去) 1+、13 limx n→0 2 上页

例 2) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 xn = + + + n重根 证 , 显然 xn+1  xn  是单调递增的 ;  xn 3 3, 又 x1 =   3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3,  是有界的;  xn lim 存在. n n x →  3 ,  xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去 ) . 2 1 13 lim +  = →  n n x

庄二、两个重要极限 B sIn lim =1 O D A →0y 牛设单位圆0圆心角∠AOB=x,(0<x<2 作单位圆的切线,得△ACO. 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 牛于是有x=BD,x=弧AB,mx=AC, 上页

A C 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x ) 2 , , (0  设单位圆 O 圆心角AOB = x  x  于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD

sinx 02 x→0 中∴ lim cos x=1,又:lim1=1,∴lim sInd =1 →0 x→0 x→0x 上页

sin x  x  tan x, 1, sin cos   x x 即 x 0 . 2 上式对于   也成立  − x , 2 当 0 时   x  0  cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x  , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x  lim(1 cos ) 0, 0  − = → x x limcos 1, 0  = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0  = → x x x

例3求lm 1-cosx x→>0X 2 sina e 2 SIn 解原式=li 2 2 =im x→0x 2x→0 2 2 SIn =-i m(2)2 2x→>0x 2 2 2 上页

例 3 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 =  . 21 =