《数学模型》课程教学资源（课件讲稿）第二章 初等模型

(数学模些) 第二章初等模型 2,1公平的席位分配 22录像机计数器的用途 23双层玻璃窗的功效 24汽车刹车距离 2.5划艇比赛的成绩 2.6实物交换 2,7核军备竞赛 28启帆远航 2.9量纲分析与无量纲化

第二章 初等模型 2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化

(数学模些) 21公平的席位分配 问三个系学生共200名(甲系100,2乙系60,丙系40),代表 会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系,三系人数为103,63,34,问20席如何分配。 若增加为21席,又如何分配。 系别学生比例20席的分配21席的分配 人数(%)比例结果比例结果 对 例 丙 加甲10351510.31010.81511系 惯乙6331.56.3666157公 例丙341703443570 3/平 吗 总和200100.020.0202100021

2.1 公平的席位分配 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 问题 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 对 丙 系 公 平 吗 比 例 加 惯 例

(数学模些) “公平”分配方法衡量公平分配的数量指标 人数席位当p1n=p2/n2时,分配公平 A方P1 B方p2 若p1/m1>p2n2,对A不公平 p/mn1-p2/n2~对A的绝对不公平度 P1=150,n1=10,p11=15p1=1050,n1=10,D1/1=105 P2=100,m2=10,P2n2=10p2=1000,2=10,P2m2=100 P1/n1-P2n2=5 P1n1-P2n2=5 虽二者的绝对 但后者对A的不公平 不公平度相同 程度已大大降低!

“公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对A不公平 p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2 p /n2=5 1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同

(数学模些) “公平”分配方法将绝对度量改为相对度量 若p1/m1→p2n2,定义 B/n-pn=(n,m2)~对A的相对不公平度 公平分配方案应 类似地定义rB(n1n2) 使 尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即 设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B 不妨设分配开始时p/n1>D2n2,即对A不公平

“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量 若 p1/n1> p2/n2 ，定义 ( , ) / / / 1 2 2 2 1 1 2 2 r n n p n p n p n = A − ~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应 使 rA , r 类似地定义 rB(n1,n2) B 尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平

(数学模型 应讨论以下几种情况初始p1/m1>p2/n2 1)若P1/(n1+1)>p2/n2,则这席应给A 2)若p1/(n1+1)p2(n2+1),应计算r(n1,n2+1) 问:p1mn1p2(n2+1)是否会出现?否! 若r(n1+1,n2)rA(n1,n2+1,则这席应给B

初始 p1/n1> p2 应讨论以下几种情况 /n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

(数学模些) 当rB(n1+1,n2)<rA(1n2+1),该席给A rA,r的定义 p2 < 该席给A n2(n2+1)n1(n1+1) 否则,该席给B 定义Q;=-P ,i=1,2,该席给Q值较大的一方 (nz+1) 推广到m方 计算Q1= 分配席位 ni+ 该席给Q值最大的一方Q值方法

当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 2 2 2 2 + < + n n p n n p 否则, 该席给B , 1,2, ( 1) 2 = + = i n n p Q i i i 定义 i 该席给Q值较大的一方 i m n n p Q i i i i , 1,2 , ( 1) 2 = L + 计算 = 该席给A 推广到m方 分配席位 该席给Q值最大的一方 Q 值方法

(数学 系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系:p1=103,n1=10 用Q值方法分配 乙系:P2=63,n2=6 丙系:P3=34,n=3 第20席和第21席 10 63 12 34 第20席Q1 =964,Q2 945,g3 96.3 10×11 6×7 3×4 Q1最大,第20席给甲系 103 第21Q1= 11×12 80.4,Q2,g3同上 Q3最大,第 21席给丙系 Q值方法 分配结果甲系11席,乙系6席,丙系4席公平吗?

三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 用Q值方法分配 第20席和第21席 第20席 96.3 3 4 34 94.5, 6 7 63 96.4, 10 11 103 2 3 2 2 2 1 = × = = × = = × Q = Q Q 2 3 2 1 80.4, , 11 12 103 Q = Q Q × = 同上 Q值方法 分配结果 Q1最大，第20席给甲系 Q3最大，第 21席给丙系 第21席 甲系11席，乙系6席，丙系4席 公平吗？

(数学模些) 进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 席位分配的理想化准则 已知:m方人数分别为p1,p2…,pm记总人数为 P=p1+2+…+m(分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1n2…,nmn (自然应有n1+n2+…+n=N), n2应是N和p1,…Pm的函数,即n;=n;(N,p1,…,pm) 记q=N/P,÷=1,2,…,m,若q均为整数,显然应n=q

进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1, p2,… pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … pm 的函数，即ni = ni (N, p1, ,… pm ) 若qi 均为整数，显然应 ni=q 记qi=Npi i /P, i=1,2, …m

(数学模些) q=N1/P不全为整数时,n1应满足的准则: 记[q= floor(q)~向≤q方向取整; lgl+=cei~向≥q方向取整 1)≤nsl+(=1,2,…m,即n2必取l,{之 2)n(N,P1,"…pm)≤n1(N+1,p1,;…,Pm)(i=1,2,…m) 即当总席位增加时,n不应减少 “比例加惯例”方法满足1),但不满足2) Q值方法满足2),但不满足1)。令人遗憾!

qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整. 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, …m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, ,… pm ) ≤ ni (N+1, p1, ,… pm) (i=1,2, …m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！

(数学模些) 22录像机计数器的用途 问经试验,一盘标明180分钟的录像带 题从头走到尾,时间用了184分,计数 器读数从000变到6061。 在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 思考计数器读数是均匀增长的吗? 要求不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系

2.2 录像机计数器的用途 经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。 问 题 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 要求