中国科学院：《数值计算方法》第五章（5-3） 函数平方逼近

§3函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准,研究函数f(x)∈(ab]的逼近多项 式,就是最佳平方逼近问题。 若存在P(x)∈Hn,使 1-Pl [(x), (G)P dx= int l P"(x)就是f(x)在[ab]上的最佳平 方逼近多项式。 定义设在区间(a2b)上非负函 数(x),满足条件: ∫。"p(x)dx存在 (n=0,1,…)

§3 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准，研究函数 f (x) C[a,b] 的逼近多项 式，就是最佳平方逼近问题。 若存在 n Hn P (x)  * ，使 * * 2 2 2 [ ( ) ( )] d inf b n n a P H f P f x P x x f P  − = − = −  ， ( ) * P x n 就是 f (x) 在 [a,b] 上的最佳平 方逼近多项式。 定义 设在区间 (a,b) 上非负函 数 (x) ，满足条件： 1 ） x x x n b a  ( )d  存 在 (n = 0, 1, ) ；

2)对非负的连续函数g(x),若 g(p(dx=o 则在(a2b)上g(x)≡0,就称(x)为 区间(a2b)上的权函数。 对f(x)∈C[a,b及Ca,b中的 个子集 spanφo ,1…卯n},若存 在S(x)∈卯,使 f-S|2=mr|f-S‖ p(xlf(x)-s(x) S 则称S(x)是f(x)在子集cCa,6中 的最佳平方逼近函数。 S(x)=∑4(x),求S(x等价于求

2） 对非负的连续函数 g(x) ，若 ( ) ( )d = 0  g x x x b a  ， 则在 (a,b) 上 g(x)  0 ，就称  (x) 为 区间 (a,b) 上的权函数。 对 f (x) C[a,b] 及 C[a,b] 中的一 个子集 span{ , , , }  =  0 1   n ，若存 在 ( ) * S x ，使 f S f S x f x S x x b S S a inf inf ( )[ ( ) ( )] d 2 2 2 2 2 * − = − = −       则称 ( ) * S x 是 f (x) 在子集   C[a,b] 中 的最佳平方逼近函数。 令 0 ( ) ( ) n j j j S x a x  = = ,求 ( ) * S x 等价于求

多元函数 b )=p(x) a, (x)=f(x)2dx 的最小值。P(x)为权函数。 由于(aa,an)是关于 0:1 an的二次函数,利用多元 函数求极值的必要条件 0(k=0,1,…,n) 2 P(ra (x)f(x)]pk(x)dx=0 (k=0

多元函数 I a a a x a x f x x j j n j b a n ( , , , ) ( )[ ( ) ( )] d 2 0 0 1 =  −  =    的最小值。  ( ) x 为权函数。 由 于 ( , , , ) 0 1 n I a a  a 是 关 于 a a an , , , 0 1  的二次函数，利用多元 函数求极值的必要条件 0 (k 0,1, ,n) a I k = =    ， 2 ( )[ ( ) ( )] ( )d 0 0 = − =    = x a x f x x x a I j j k n j b a k    (k = 0, 1,  , n)

∑J。(x)(x)(x)dx=J,()/(x)(x)dx 内积定义 f, g)= p()f(x)g(x)dx /2=(x)=02=√∫ p(x)(f(x)-0)2dx 于 是 有 ∑(k29,1=(,9)(=0,1,…m) (9)(,9)…(929n)a「( (129)(929)…(,9)a1(f, (0n)(n,1)…(0n,n)

0 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d n b b j j k k a a j a x x x x x f x x x      =  =   内积定义 f g x f x g x x b a ( , )  ( ) ( ) ( )d  = 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 [ ( )( ( ) 0) d ] ( , ) b a f f x x f x x f f = − = − =   于是有 ( , ) ( , ) ( 0, 1, , ) 0 k j a j f k k n n j  = =  =    . 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n a f a f a f                                        =                  

这是关于ao2C1,…,Cn的线性 方程组,称为法方程,由于 701,…On线性无关,故系数行列 式G(o291,…卯n)≠0,于是此方程 组有唯一解ak=ak(k=0,1 从 而得到 S(x)=a00(x)+…+ann2(x) 定理5(x),(x)…,9(x)在 [a,b上线性无关的充分必要条件是 它的克来姆( Gramer)行列式 Gn,≠0,其中 G=G(o, u

这是关于 a a an , , , 0 1  的线性 方程组，称为法方程，由于    n , , , 0 1  线性无关，故系数行列 式 G( 0 ,1 ,  , n )  0 ，于是此方程 组有唯一解 * k k a = a (k = 0, 1,  , n) ，从 而得到 ( ) ( ) ( ). * 0 * 0 * S x a x a x =  ++ n  n 定 理 5 0 1 ( ), ( ), , ( ) n    x x x 在 [a,b] 上线性无关的充分必要条件是 它 的 克 来 姆 （ Gramer ） 行 列 式 Gn  0 ，其中 0 1 ( , , , ) G G n n =   

)(0,1)…( 059n (n90)(qn,)…(n,0 证:0(xX),m x)在[a,b]上 线性无关,则由方程 S(x)=an0(x)+a1(x)+…+an,n(x)=0 知 ,)=(0,0,…0) 将此方程两边分别乘以 p(o,Pm1,…POn之后在积分,便得到 下列方程组: ∑a(qk,9)=0(=0,…,n) k=0

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n                   = 证： 0 1 ( ), ( ), , ( ) n    x x x 在 [a,b] 上 线性无关，则由方程 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n S x a x a x a x = + + + =    知 0 2 ( , , ) (0,0, 0) a a an = 将此方程两边分别乘以 0 1 , ,   n 之后在积分，便得到 下列方程组： 0 ( , ) 0 ( 0, , ) n k k j k a j n   =  = =

(。0)(,1)…(q02 (,90)(m,1)…(01,9n) 0 (9n29)(n9)…(n,n) 此齐次方程组只有零解,故其系 数行列式的值一定不为0,即 G.≠0 反之,若Gn≠O,同样对G可 经过适当变换得到(x,(x)…,(x) 在[a,b上线性无关。 证明S(x)为最佳平方逼近函 数

即 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n a a a                               =             此齐次方程组只有零解，故其系 数 行 列 式 的 值 一 定 不 为 0 ， 即 Gn  0 。 反之，若 Gn  0 ，同样对 Gn 可 经过适当变换得到 0 1 ( ), ( ), , ( ) n    x x x 在 [a,b] 上线性无关。 证明 ( ) * S x 为最佳平方逼近函 数

即对任何S(x)∈,有 p(x)If(x)-S(x)dxs P(x)Lf(x)-S(x)]'dx 为此只考虑 D=P(x)L(x)=s(x)]dx- p(x)I(x)-s'(x)2dx (x)[S(x)-S'(x)2d +2 p(x[S(x)-S(x)[f(x)-S(x)]d ∫。p(x)-S(x)dx +2∑(a2-4)J。px)(x/(x)-S(

即对任何 S(x)  ，有 ( )[ ( ) ( )] d ( )[ ( ) ( )] d . * 2 2 x f x S x x x f x S x x b a b a −  −     为此只考虑 D x f x S x x x f x S x x b a b a ( )[ ( ) ( )] d ( )[ ( ) ( )] d 2 * 2 = − − −     x S x S x x b a ( )[ ( ) ( )] d * 2 = −   * * 2 ( )[ ( ) ( )][ ( ) ( )]d b a + − −  x S x S x f x S x x  * 2 * * 0 ( )[ ( ) ( )] d 2 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]d b a n b k k k a k x S x S x x a a x x f x S x x    = = − + − −   

由于S(x)的系数ak是方程 ∑(9,)a1=(,qk)(=0,1,…,m) 的解,故 p(rff(r) (x)lo (xdx=o 从而上式第二个积分为0,于是 D 1O(x)[S(x) )-S'(x)2dx≥0 这就证明了S(x)是f(x)在卯中的最 佳平方逼近函数。 若令6=f(x)-S(x),则平方误差为

由于 ( ) * S x 的系数 * ak 是方程 ( , ) ( , ) ( 0, 1, , ) 0 a f k n k j j k n j  = =  =    的解，故 ( )[ ( ) ( )] ( )d 0 * − =  x f x S x x x k b a   (k = 0, 1,  , n) ， 从而上式第二个积分为 0，于是 ( )[ ( ) ( )] d 0 * 2 = −   D x S x S x x b a  这就证明了 ( ) * S x 是 f (x) 在  中的最 佳平方逼近函数。 若令 ( ) ( ) *  = f x − S x ，则平方误差为

=(/-S,f-S)=(f,f-S)-(S,f-S (f,f)-(S,f)-(S,f-S 由 于 akp k=0 ∑a(,-∑ k=0 ∑a(,qk)-∑(129k)) 所以 162=(f-S,f-S)=(/,)-(S

2 * * * * * 2  = − − = − − − ( , ) ( , ) ( , ) f S f S f f S S f S * * * = − − − ( , ) ( , ) ( , ) f f S f S f S 由 于 * * * * 0 0 ( , ) ( , ) n n k k j j k j S f S a f a   = = − = −   * * 0 0 ( , ) n n k k j j k j afa   = = = −   * * 0 0 (( , ) ( , ) ) 0 n n k k j k j k j a f a    = = = − =   所以 ( , ) ( , ) ( , ) * * * 2 2  = f − S f − S = f f − S f