中国科学院：《数值计算方法》第八章 常微分方程数值解法

第八章常微分方程数值解法 51、引言 阶常微分方程的初值问题: f(x,y)a≤x≤b V(Xo=y 例:方程xy-2y=4x→y 2y 令:(x,y)2y+4且给出初值y(1=3 就得到一阶常微分方程的初值问题 =f(x,1) J() 3

第八章 常微分方程数值解法 §1 、引言 0 0 : ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y  =      =  一阶常微分方程的初值问题 ' ' : xy -2y=4x y = f(x,y)= y(1)=-3 ( , ) ( ) 2 y 4 x 2 y 4 x dy 2 y f x y 4 dx x y 1 3  + +   = = +   = − 例 方程 令： 且给出初值 就得到一阶常微分方程的初值问题：

只要函数f(x,y)适当光滑连续,且关于y满足李普 希兹( Lipschitz)条件,即存在常数L,使得 (xy)-(xy)≤L|y-y 由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且唯一。 微分方程的数值解:设方程问题的解y(x)的存在区间 是{b,令=xx…<xn=b,其中b=xk+rxg,如是等距 节点h=(b-叫)m,h称为步长。 yax)的解析表达式不容易得到或根本无法得到,我们用数 值方法求得y(在每个节点xk上y(x成)的近似值,用yk表示, yk≈yv(xJ,这样yn,y…n称为微分方程的数值解

( , ) L ( , ) ( , ) f x y f x y f x y L y y −  − 只要函数 适当光滑连续，且关于y满足李普 希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 ，使得 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且唯一。 微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间 是[a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距 节点h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数 值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk )的近似值，用yk表示， 即yk≈y(xk )，这样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解

微分方程离散化常用方法 A·用差商代替微商 n+ n=f(n,v(n)) xXCn+1-XCn 用h=xm-xn,y≈y(xn)yn12 y(xn)代替,则 yy h fxn,y y=y+hflxm,y)n=0, 1

微分方程离散化常用方法 ( ) ( ) ( ) 1 1 , A ( , ( )) n n n n n n n n y y f x y x x y dy x x dx x x + +  − = = − 用差商代替微商 ( ) ( ) ( ) ( , ) 0,1, 2, , , , 1 1 1 1 1 = + = = − = −   + + + + + hf n f h h y y y y x y x y y y x x y x y x n n n n n n n n n n n n 用 n n 代替，则：

B.数值积分 用数值积分方法离散化: ∫ f(x,y)Zx(n=0,1,……) Z入x 用vn1,代替ν(xn+1),y(xn),对右端积分采用 取左端点的矩形公式 「f(x,y)dx≈hf(xn,yn) 则有 ynu-yn= hf(n, yn) (n=o,1

1 1 B. : ( , ) ( 0, 1, ) n n n n x x x x dydx f x y dx n dx + + = =   数值积分 用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y y hf x y n + + + +  − = =  用 代替 对右端积分采用 取左端点的矩形公式 则有

C·在x附近y(x)的7 aylor展开 y(,+h)=v(x,)+hy(x)+h y(x,) (x)+M(xn(x)+y1(x)+ f(x,y)a≤x≤b )=y 取h的线性部分,且yn≈y(x)得y(xn)的近似值: ym=y,+hf(xmy n=o, I Taylor展开法不仅可得到求数值解的公式,且容易估计 截断误差

2 / // 2 // C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( )) ( ) 2 n n n n n n n n n y x Taylor y h y h y hf y x h x x x x y y h x x x x y  + = + + + = + + + 在 附近 的 展开： 1 1 ( ) ( ) ( , ) 0, 1, 2, n n n n n n n h y y hf n Taylor y x x y y y x + +  = + = 取 的线性部分，且 得 的近似值： 展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易估计 截断误差。 0 0 ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y      =          =   

§2尤拉(Eua)方法 EMer公式 计算公式: dy aJ(x,y)a≤x≤b y =y+h(x y)n=0, y(xo=y y 1,几何意义 由(xy)出发取曲线y=y(x)的切线(存在!),则斜率 由于f(xy3)及(xny)已知,必有切线方程

§2 尤拉（Eular)方法 ( ) 1 0 0 0 0 ( , ) , 0 1, ( ) ( ) n n n n Euler dy f x y a x b hf n , dx y y y y y x y x y x +   =   = + =        = =   一、 公式 计算公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1 , , f , , y y x f x y x y dy x y dx x x y y = = ，几何意义。 由 出发取曲线 的切线（存在！），则 斜率 由于 及 已知，必有切线方程

由点斜式写出切线方程 y=y+(x-xo =y+(x-xo)f(xo,y) 等步长为h,则x-x0=h,可由切线算出y y=y+hf (xo, y 逐步计算出y=y(x)在xn1,点值 yn=y+b(x,y)n=0,1,2, 注意:这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外,其他点不是! Xo x1x2 X

( ) ( ) y x y ( x x )f ( x , y ) dx dy y x x ,y 0 0 0 0 0 0 0 0 = + − = + − 由点斜式写出切线方程： （ ） 等步长为 ，则 ，可由切线算出 ： y y x ，y x x y hf h h 0 0 1 0 1 1 0 = + − = 0 1 2  1 1 （ ） ，，， 逐步计算出 （ ）在 ，点值 ： = + ， = = + + hf n y y x y y x y x n n n n n 注意：这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！ y χ0 χ1χ2 χ3 χ

2、 Euler方法的误差估计 1)局部截断误差 在一步中产生的误差而非累积误差: Tu=yIx 其中1是当y,=y(x,)(精确解!)时 n+1 由Eler法求出的值,即1无误差 将y(xn)在x点7ayor展开 y(xn)=y(x, +h)=y(x,)+hf(xn,y(x,)+ 21() <c<

2、Euler方法的误差估计 ( ) 1 1 1 1 1) ~ ~ ( ) n n n n n n n y y Euler T x y y x y y + + + + = − = 局部截断误差。 在一步中产生的误差而非累积误差： 其中 （精确解！）时 由 法求出的值，即 无误差！ 是当 ( ) y ( ) x x h x x x x x x x n n n n n n n n n y y h y hf y y Taylor 1 / / 2 1 1 2 ( ) ( ) ( , ( )) ( ) + + + +   = + = + +   将 在 点 展开：

y,+hf(x,,) n+1 y(x)+hf(x,v(x ) n+1 则Tn=y(xn << y n+1 n+1 令M2=maxy(x)y(x)充分光滑,则 Tn≤M2

( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 2 // 1 1 1 1 ~ , ~ ( ) , ~ 2 n n n n n n n n n n n n n y hf y y hf y y x y x x x y h T x x x y y   + + + + + + = + = + 则 = − =   ( h ) h T M M y O x y x n a x b 2 2 1 2 / / 2 2 max ( ), ( )  = = +   令 充分光滑，则：

3、总体方法误差(1) 递推方法:从任意两相邻步的总体误差关系 推出总体误差与步长的关系。 由微分方程解的存在唯一性,自然假定f(x,y) 充分光滑,或满足 Lipschitz条件: f(,y(x)f(,y)sLy(x) -y 第n步的总体截断误差记为en=yx)-y”。则对n+1步 en n+1 n+1 n+1 n+1 Tn}+1,-y 以下估计 其中=y(x)+(xr(x) +1

3、 总体方法误差(1) (x (x )) (x y ) (x ) yn n n f n , y n f n , L y Lipschitz , f x y −  − 充分光滑，或满足 条件： 由微分方程解的存在唯一性自然假定 （ ， ） 推出总体误差与步长的关系。 递推方法：从任意两相邻步的总体误差关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ~ ~ ~ ~ ~ , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y n y y y hf y e x y e x x y y y y y y T y x x x y y + + + + + + + + + + + + + = − + = −  − + − = + − − = + 第 步的总体截断误差记为 则对 步： 以下估计 其中