中国科学院：《数值计算方法》第四章 插值法

第四章插值法 §1引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 y=f(x),其在某个区间[a,b上 是存在的。但是,通过观察或测量或 试验只能得到在[a,b区间上有限个 离散点x0,x1,xn上的函数值 y1=∫(x1), =0,…,n)或者f(x)的函数表达 式是已知的,但却很复杂而 不便于计算,希望用一个简单的函数 来描述它

1 第四章 插 值 法 §1 引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 y f x = ( ) ,其在某个区间 a b,  上 是存在的。但是,通过观察或测量或 试验只能得到在 a b,  区间上有限个 离散点 , , , x x x 0 1 n 上的函数值 ( ), i i y f x = (i 0 1 n = , , , ) 或者 f x( ) 的函数表达 式是已知的,但却很复杂而 不便于计算,希望用一个简单的函数 来描述它

插值问题的数学提法:已知函数 y=f(x)在n+1个点X 091,n 上的函数值=f(x)(=0,1,…,), 求一个多项式y=(x,使 其满足P(x)=y,(=0,…,)。即 要求该多项式的函数曲线要 经过y=f(x)上已知的这m+1个点 (xn)(x,y),…(x,),同时在其 它点x∈[a,上估计误差为 R(x)=f()-P(x)

2 插值问题的数学提法:已知函数 y f x = ( ) 在 n 1 + 个点 , , , x x x 0 1 n 上的函数值 y f x i 0 1 n i i = = ( ), , , , ( ) , 求一个多项式 y P x = ( ) ,使 其满足 ( ) P x y i i = , (i 0 1 n = , , , ) 。即 要求该多项式的函数曲线要 经过 y f x = ( ) 上已知的这 n 1 + 个点 ( x y x y x y 0 0 1 1 n n , , , , , , , ) ( ) ( ) 同时在其 它点 x a b  ,  上估计误差为 R x f x P x ( ) ( ) ( ) = − 。 Y f x( ) p x( )

yo y1 y 当n=1时,求一次多项式(x),要 求通过(x,10,(x,)两点 当n=2时,求二次多项式P(x),要求 通过(xn,10,(x,y1).(x2,y2)三

3 当 n 1 = 时,求一次多项式 ( ) P x 1 ,要 求通过 ( x y x y 0 0 1 1 , , , ) ( ) 两点 当 n 2 = 时,求二次多项式 ( ) P x 2 ,要求 通过 ( x y x y x y 0 0 1 1 2 2 , , , , , ) ( ) ( ) 三 x 1 y 0 x 1 x 2 x n 1 x − n x 0 y 2 y n 1 y − n y … y x0 x 1 x 0 y y1 f x( ) 1 p x( )

点 P2(x) §2.拉格朗日插值公 式 2-1插值多项式的存在唯一性 过n+1个点 (x1,y)i=0,1,2,…,n,作多项式函 数 P(x)=a0+a1x+…+anx

4 点 §2.拉格朗日插值公 式 2-1 插值多项式的存在唯一性 过 n+1 个点 (xi , yi ) i = 0,1,2,  ,n ，作多项式函 数 0 1 ( ) n P x a a x a x n n = + + + 0 y 2 y y x0 x 1 x 2 x 1 y f x( ) 2 p x( )

可构造(n+1)×(n+1)线性方程组 确定参数a1 0+1xo+…·+ano=y ao+ax, q0+1xn+…….+ann=y 要证明插值多项式存在唯一,只要 证明参数c存在且唯 即只要证明其系数行列式不为零即 可

5 可构造（n+1）×(n+1)线性方程组 确定参数 ai        + + + = + + + = + + + = ; ; ; 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y     要证明插值多项式存在唯一，只要 证明参数 ai 存在且唯一， 即只要证明其系数行列式不为零即 可

系数行列式为: 2 0 XX n(0:1 X 2 n n 此为范德蒙行列式。利用行列式性 质可得 Vn(x,x…,xn)=I(x1-x) 由于i≠j时x≠x,故所有因子 x-x≠0,于是 0:41 )≠0

6 系数行列式为： n n n n n n n n x x x x x x x x x V x x x          2 1 2 1 1 0 2 0 0 0 1 1 1 1 ( , , , ) = 此为范德蒙行列式。利用行列式性 质可得 = − = = − n i i j n n i j V x x x x x 1 1 0 0 1 ( , ,, ) ( ) 由于 i  j 时 i j x  x ，故所有因子 xi − x j  0 ，于是 ( , , , ) 0 0 1  n n V x x  x

即插值多项式存在唯 2-2线性插值与抛物线插值 线性插值(一次插值) 1.问题的提法 已知函数f(x)在区间xx的 端点上的函数值 k=/(k),yk+/=f(k+l), k 个一次函数 使得 k =Pak), yu=P(u) 其几何意义是已知平面上两点 求一条 直线过该已知两点

7 即插值多项式存在唯一。 2-2 线性插值与抛物线插值 一、 线性插值（一次插值） 1.问题的提法 已知函数 f x( ) 在区间  x x k k 1 , +  的 端点上的函数值 ( ), ( ) y f x y f x k k k 1 k 1 = = + + ，求 一个一次函数 ( ) 1 y P x = 使得 ( ), ( ) y P x y P x k 1 k k 1 1 k 1 = = + + 。 其几何意义是已知平面上两点 ( x y x y k k k 1 k 1 , , , ) ( + + ) ,求一条 直线过该已知两点

p,( 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知: P,()=yk+ K+l k+l k 把此式按照k和k+写成两 项

8 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： ( ) ( ) k 1 k 1 k k k 1 k y y P x y x x x x + + − = + − − 把此式按照 yk 和 k 1 y + 写成两 项： y x 0 x 1 x 0 y y1 f x( ) 1 p x( )

r- P1(x) k+l 十 k k+l k k+l x k (两点式), 记 d- d-a l(x)= k+l k k k+l k+I k 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表 x 从而 P()=yg k(x)+yklk(x) 此 形式称之为拉格朗日型插

9 ( ) k 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 k x x x x P x y y x x x x + + + + − − = + − − （两点式）， 记 ( ) , ( ) k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k x x x x l x l x x x x x + + + + − − = = − − ， 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表： ( ) ( ) k k 1 k k 1 x x l x 1 0 l x 0 1 + + 从而 ( ) ( ) ( ) P x y l x y l x 1 k k k 1 k 1 = + + + ,此 形式称之为拉格朗日型插

值多项式。其中,插值基函数与 yk、Jk+无关,而由插值结 点k、xk+1所决定 一次插值多项式是插值基函数的 线性组合,相应的组合系 数是该点的函数值k、+1。 二、二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数y=(x)在点 xk-1,Xk,k+1上的函数值

10 值多项式。其中,插值基函数与 yk 、 k 1 y + 无关，而由插值结 点 xk 、 k 1 x + 所决定。 一次插值多项式是插值基函数的 线性组合,相应的组合系 数是该点的函数值 yk 、 k 1 y + 。 二、 二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数 y f x = ( ) 在点 , , x x x k 1 k k 1 − + 上的函数值