《数学模型》课程教学资源（课件讲稿）第六章 稳定性模型

(数学模些) W第六章稳定性模型 61捕鱼业的持续收获 62军备竞赛 63种群的相互竞争 6.4种群的相互依存 6.5种群的弱肉强食

第六章 稳定性模型 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食

(数学模些) ess 稳定性模型 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势—平衡状 态是否稳定。 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性

稳定性模型 • 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性

(数学模型 61捕鱼业的持续收获 背景·再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发—在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益 问题·在捕捞量稳定的条件下,如何 及 分析控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定

6.1 捕鱼业的持续收获 • 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） 背景 • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益 问题 及 分析 • 在捕捞量稳定的条件下，如何 控制捕捞使产量最大或效益最佳 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定

(数学模些) 产量模型 x(t)~渔场鱼量 假设无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 i(t)=f(x)=r(1 N r固有增长率,N最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E-捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 渔场鱼量满足()=F(x=m/1-3)-Ex 捕捞情况下 不需要求解x(O,只需知道x(稳定的条件

产量模型 x(t) ~ 渔场鱼量 ( ) ( ) (1 ) Nx x& t = f x = rx − 假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度 建模 记 F(x) = f (x) − h(x) Ex N x 捕捞情况下 x&(t) = F ( x) = rx (1 − ) − 渔场鱼量满足 • 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件

(数学模型 阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 F(x)=0的根x~徽分方程的平衡点 =0→X≡x 设x(是方程的解,若从x某邻域的任一初值出发, 都有imx()=x,称x是方程(1)的稳定平衡点 不求x(O),判断x稳定性的方法直接法 (1)的近似线性方程=F(x)(x-x)(2) F(x)0→x不稳定(对(2)、()

一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x& = F ( x ) ( 1 ) 一阶非线性（自治）方程 0 0 0 x x x F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 & x =x = ⇒ ≡ 设 x ( t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发， 都有 lim ( ) , 0 x t x t = → ∞ 称 x 0是方程(1)的稳定平衡点 不求 x ( t), 判断 x 0稳定性的方法——直接法 ( )( ) ( 2 ) 0 0 (1)的近似线性方程 x& = F′ x x − x ( ) 0 ( ( 2), ( 1)) F′ x 0 ⇒ x 0不稳定 对

数学模些) 产童模型x(1)=F(x)=x(1-)-Ex F(x)=0 E N(1--),x1=0 平衡点 稳定性判断F(x)=E=r,F(x)=r-E E0x稳定,x不稳定 E>r→F(x)>0,F(x)<0日x不稳定,x稳定 E~捕捞强度r固有增长率 x稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯

Ex N x 产量模型 x&(t) = F ( x) = rx (1 − ) − (1 ), 0 0 = − x1 = r E F(x) = 0 x N 平衡点 稳定性判断 F′(x0 ) = E − r, F′(x1) = r − E ( ) 0, ( ) 0 E x0稳定, x1不稳定 ( ) 0, ( ) 0 E > r ⇒ F′ x0 > F′ x1 < x0不稳定, x1稳定 E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯

(数学模些) 产量模型在捕捞量稳定的条件下, 图解法 控制捕捞强度使产量最大 F(x=f(x)h(x) J x V-A y=E'x f(x)=rx(1-o) y=h(x =Ex h(x)= ex yf(x) f(x)=0∫与交点P E<r→x稳定 x0.=N2 P的横坐标x~平衡点 P的纵坐标h产量 产量最大P(xn=N/2,hn=rN/4)E=hn/x=r/2 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大 产量模型 图解法 F ( x ) = f ( x ) − h ( x ) ( ) ( 1 ) N x f x = rx − h ( x ) = Ex F( x) = 0 / / 2 * 0 * E h x r = m = y=rx h ⋅ P x 0 y 0 y=h (x )=Ex N x y=f(x ) P的纵坐标 h ~产量 ( / 2, / 4 ) * 0 * P x = N h m = rN f 与 h交点 P E < r ⇒ x 0稳定 h m x 0 * =N/2 P * y=E *x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 P的横坐标 x 0 ~平衡点 产量最大

(数学模型 效益模型在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强 度使效益最大 假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c 收入T=ph(x)=pEx 支出S=cE 单位时间利润R=T-S=pEx-CE 稳定平衡点x=N(1-E/r) E、_cE R(E)=T(E)-S(E)=pNE(1--) 求E使RE最大口E C <E*_F N 2 渔场 E 鱼量 xr=N(I-r) x、C p pN

在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强 度使效益最大 效益模型 假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用 c 收入 T = ph (x) = pEx 支出 S = cE 单位时间利润 R = T − S = pEx − cE cE r E R ( E ) = T ( E ) − S ( E ) = pNE ( 1 − ) − ( 1 ) 4 2 2 2 p N rN c h R = − ( 1 / ) 0 稳定平衡点 x = N − E r ( 1 ) 2 pN r c E R = − p N c 2 2 ( 1 ) = + r E x N R 渔场 R = − 鱼量 2 * r 求 E 使 R (E)最大 < E =

(数学模些) 捕捞·封闭式捕捞追求利润R(E最大En 过度开放式捕捞只求利润R(E)>0 R(E)=7(E)-S(B)=NE、公 令 C cE=0E.=r(--,) R(E=0时的捕捞强度(临界强度)E=ER 临界强度下的渔场鱼量 E C Se x。=N(1 E (E) 捕捞过度 ERE E

捕捞 过度 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 •开放式捕捞只求利润R(E) > 0 (1 ) 2 pN r c E R = − (1 ) pNc E r s = − 令 cE =0 rE R(E) = T(E) − S(E) = pNE(1− ) − R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 Es S(E) T(E) 0 ER E r E * (1 ) r E x N s s = − p c = p ↑,c ↓ Es ↑, xs ↓ 捕捞过度

(数学模些) 62军备竞赛 目的·描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设1)由于相互不信任,一方军备越大,另 方军备增加越快; 2)由于经济实力限制,一方军备越大,对 自己军备增长的制约越大; 3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设1)2)的作用为线性;3)的作用为常数

6.2 军备竞赛 目的 • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 • 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快； 假设 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数