《高等数学》课程教学资源：第七节 曲线的凹凸与拐点

第七节曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 巴四、小结思考题

曲线凹凸的定义 C B 问题:如何研究曲线的弯曲方向 y=f(r) y=f(r) 0 x 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上页

一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C

定义设f(x)在(a,b内连续如果对(a,b内任意 两点x1,x2,恒有f( x+x2f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凹的 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 fo x1+x2、f(x1)+f(x2) 2 2 牛那末称(x)在(a内的图形是凸的 如果f(x)在a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的

定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b +  + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x +  + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b

二、曲线凹凸的判定 y y=f(x)B B :::::: b b r f(x)递增y”>0 f(x)递减y"0,则f(x)在{,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在{a,b上的图形是凸的 上页

二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y  0 f (x) 递减 y  0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b    

c例1判断曲线y=x3的凹凸性 0.2 1 1 0.1 0.2 0.3 上页

例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性

解 y=3x2 ,y”=6x, 当x0时,y>0,∴曲线在[0,+0)为凹的 注意到,点(0,0是曲线由凸变凹的分界点 上页

解 3 , 2  y = x y = 6x, 当x  0时， y  0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x  0时， y  0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点

生三、曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 工工工 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x0-0,x0+)内存在二阶导 牛数则点(n,f(x)是拐点的必要条件是f(x)=0. 证∵∫(x)二阶可导,∫(x)存在且连续, 上页

三、曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 −  x0 +  内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证  f (x) 二阶可导,  f (x) 存在且连续

王又:(x,(x)是拐点 则f(x)=f(x)在x两边变号, f(x)在x取得极值由可导函数取得极值的条件, ∫"(x)=0 方法1:设函数f(x)在x的邻域内二阶可导, 工工工 且f(x0)=0, ()x两近旁r(x)变号,点(x,f(x)即为拐点 (2)x两近旁f(x)不变号,点(x0,f(x0)不是拐点 王页下

( ) [ ( )] , 则 f  x = f  x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) ,  f  x 在x0取得极值由可导函数取得极值的条件,  f (x) = 0. 方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f  x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f  x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f  x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点

例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及 凹、凸的区间 解D:(-∞,+∞) y=12x3-12x2,y"=36x(x 令y”=0,得x1=0,x2= 3 x(∞)0023)23(23 +o) 工工工 r"(x)+ 0 0 |f(x)凹的 拐点 拐点 凸的 凹的 (0,1) 上页

例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解  D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(

2.5 1.5 .5 1 .5 0.5 1 凹凸区间为(∞0,023b ) 上页

, ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +