中国矿业大学力学系：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 能量法（2/3）

§12-5互等定理 △22 △12 载荷作用点 位移发生点 CL12TU50

§12-5 互等定理 载荷作用点 位移发生点 CL12TU50 i j

11 22 △2 11 先作用f,后作用P,外力所作的功: U=B1△1+=P2△22+B1△12 2 先作用B2,后作用B,外力所作的功: U′=P2△22+=B1△1P2△21

先作用P1 ，后作用P2 ，外力所作的功： U = P + P + P 1 2 1 2 1 11 2 22 1 12 先作用P2 ，后作用P1 ，外力所作的功： U  = P + P + P 1 2 1 2 2 22 1 11 2 21

功的互等定理: 12 2 21 若P=P,则得 位移互等定理: △△e △Np

功的互等定理: P1 12 = P2 21 位移互等定理: 若P1 = P2 ，则得 12 = 21

例:求图示简支梁C截面的挠度。 CL12TU34

例：求图示简支梁C截面的挠度。 CL12TU34

B2 C (/2 /2+(/ 解:由功的互等定理Pvc1=mOB2 P12 得:Pvc1=m 16EI 由此得:vc1= 16El

v C1  B2 解：由功的互等定理 P v C1 = m B2 得：P v m Pl E I  C =  1 2 16 由此得：v ml E I C1 2 16 =

例:求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移Ac CL12TU36

例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移ΔC。 CL12TU36

B2 B 2-2--a- 解:由功的互等定理PvC1=m·OB 2 2 Vci=m 2EI 由此得:△C=vcl8EI

v C1  B2 解：由功的互等定理 P v C1 = m B2 得：P v m P l EI  C =        1 2 2 2 由此得：C v C ml E I = 1 = 2 8

例:长为l、直径为d的圆杆受一对横向压力 P作用,求此杆长度的伸长量。已知E和p。 CL12TU51

例：长为 l 、直径为d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。 CL12TU51

解:由位移互等定理知,①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量 △0=△2=|e1d=Ae,d P up 4E丌dE

解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量 l d d ① ② = =    =   d =  P AE d = 4  P d E

例:已知简支梁在均布载荷q作用下,梁的中 点挠度/=3 。求梁在中点集中力P作 384El 用下(见图),梁的挠曲线与梁变形前的轴线所 围成的面积o (/2-Ct12TU52

例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中 点挠度 。求梁在中点集中力P作 用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所 围成的面积。 f q l E I = 5 384 4  CL12TU52