《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第十八讲 哈密顿正则方程

第十八讲 哈密顿正则方程

第十八讲 哈密顿正则方程

本讲导读 勒襄特变换 正则变量相空间相点 哈密顿正则方程 守恒定理

本讲导读 • 勒襄特变换 • 正则变量 相空间 相点 • 哈密顿正则方程 •守恒定理

勒襄特变换 在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换,叫勒襄特变换 OL OT 定义广义动量pa" a qa dqa OL 则由拉氏方程,得 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量,则 qn=qa(P1p2…,p、,q12q2…,q。,t) 从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 L=L(D1,P2…,p。,q12q2…,q3,D)

一、勒襄特变换 在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换, 叫勒襄特变换. 定义广义动量    q T q L p     =   = 则由拉氏方程, 得   q L p    = 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 q q p p p q q q t  s  s    =  从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 L L p p p q q q t =  s  s

二、正则方程 当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时 OL OL OL dl da +=dt at 考虑广义动量的定义,得 dL=∑(p2dqn+p2dn)+ OL dt 对于哈密顿量H(2q,1)=-L+∑P29a 可得 dH=dL+∑(p2dn+qp)=∑(p.dqn+9)-dt

当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时 t t L q q L q q L L s d d d d 1   +          +   = =       考虑广义动量的定义, 得 二、正则方程 ( ) t t L L p q p q s d d d d 1   =  + + =       对于哈密顿量 = = − + s H p q t L p q 1 ( , , )     可得 ( ) ( ) t t L H L p q q p p q q p s s d d d d d d d 1 1   = − + + = − + − = =             

H作为广义动量,广义坐标和时间的函数,又有 H H aH dH dq + dp dt at 由于动量,坐标和时间都是独立的,所以 aH (a=1,2,…,s) aH 哈密顿正则方程 相应的广义动量,坐标叫做正则变量,它们组成的2维 空间叫相空间,一组数值对应相空间中一点,叫相点

H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数,又有 t t H p p H q q H H s d d d d 1   +          +   = =     由于动量, 坐标和时间都是独立的,所以 ( 1,2, ,s) q H p p H q    =          = −   =      ——哈密顿正则方程 相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维 空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点,叫相点

维弹簧振子的运动 L=T OL 哈密顿量H=E2+Ek q H=E+E.=mx2/2+kx2/2 P ●●鲁 广义动量 +-k x.广义位移 2m2 哈密顿正则方程: aH P x op 动量定义 aH__kx 牛顿第二定律 ax m=-kx即:mi+kx=0

• 哈密顿量 H=Ep+Ek 2 2 2 2 2 1 2 2 2 kx m p H Ek E p mx kx = + = + =  / + / 动量定义 牛顿第二定律 p …广义动量 x…广义位移 mx  = −kx 即： mx  + kx = 0 m p p H x =    = kx x H p = −    = − 哈密顿正则方程： 一维弹簧振子的运动 i i q L p    L = T −V =

三、守恒定理 1能量守恒 OH OL 因为 dh aH aH aH d at ∑ aH OHOHOHOHOH dg op ap a at at 只要H不显含时间,它就是守恒的,即不随时间变化

因为 三、守恒定理 t H t H q H p H p H q H t H p p H q q H t H s s   =   +            −     =   +          +   =   = = 1 d 1 d             只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化. ? t L t H   = −   1 能量守恒

H中不显含埘时,再分稳定约東与不稳定约束这两种情 况来讨论。 1、稳定约束 OT T=72 ∑ =2T H=-L+∑qa=(7-p)+2T H=T+V=h= const 对于完整的保守力学体系来说,若H不显含t,而且 体系受稳定约束时,体系的H是能量积分,这时体系的 机械能守恒

H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。 1、稳定约束 T＝T2 q T q T q q T s s 2 1 2 1 =           =             = =          =   = − + s q q T H L  1     = −(T −V) + 2T H = T ＋ V = h = const 对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且 体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的 机械能守恒

不稳定约束 OT 7=72+11+10 qa=272+71 q H=-+∑ OT e1cqa=T2-70+1 HET-To+ V h= const 可见,对于完整的保守力学体系来说,若H中不 显含t,而且体系受不稳定约束时,体系的H是广义能 量积分

2、不稳定约束 T = T2 +T1 +T0 = = +   s q T T q T 1 2 2 1      =   = − + s q q T H L  1     = T2 − T0 +V H = T2 － T0 ＋ V= h = const 可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不 显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能 量积分

2循环积分 若H=H(q1,…,qs;p1,…,ps;t)中 不显含某个p;或某个q,即p;,q为循环坐标, 则由哈密顿方程立即得到 OH O p;=0 q厂= const pi= -const

2 循环积分 若 H =H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中 不显含某个pi 或某个qi，即pi ，qi 为循环坐标， 则由哈密顿方程立即得到 = = 0   i i q p H  qi=const = − = 0   i i p q H  pi =const