《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第八讲 刚体运动方程和平衡方程

第八讲 刚体运动方程 和平衡方程

第八讲 刚体运动方程 和平衡方程

刚体学习方法类比法 dL M dt f=ma M=JB m J Ek=omv Erk FM dA=F·cd=Md D L P=my L=Jo

刚体学习方法 类比法 p L F M m J a v                           P mv L J dA F dr dA Md E m v E J F ma M J dt dL M dt dp F k r k = = =  = = = = = = = 2 1 2 1 2 2

本讲导读 刚体运动分类:平动、转动 角位移、角速度矢量 欧勒角和欧勒运动学方程 空间力系和平行力系的求和 刚体运动微分方程和平衡方程 简单转动惯量的计算

本讲导读 • 刚体运动分类：平动、转动 • 角位移、角速度矢量 • 欧勒角和欧勒运动学方程 • 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算

刚体运动 刚体:形状和大小都不变的物体 任意两质点之间的距离保持不变的质点系 1刚体运动形式 平动:刚体在运动过程中 其上任意两点的连线始终 保持平行.可以用一个质点 的运动来描述刚体的平动 看····· A B B B 刚体的平动

一、刚体运动 形状和大小都不变的物体 任意两质点之间的距离保持不变的质点系 刚体： 1 刚体运动形式 平动: 刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始终 保持平行. 可以用一个质点 的运动来描述刚体的平动. A B A’ B’ B” A” 刚体的平动

转动:刚体上所有质点都绕同 转轴 直线作圆周运动.这条直线称为 转轴 定轴转动:转轴固定不动的转动 转轴上的质点不动.只需一个量描述刚体绕该 轴转动的角度,就确定了刚体的位置(一个变量

转动: 刚体上所有质点都绕同一 直线作圆周运动. 这条直线称为 转轴. 定轴转动：转轴固定不动的转动. 转轴上的质点不动. 只需一个量描述刚体绕该 轴转动的角度, 就确定了刚体的位置(一个变量)

平面平行运动:一点始终在固定平面内运动 这时运动可分解为一平面内 点的平动及绕通过此点且垂直于固 定平面的固定轴的转动(三个变量) 定点转动:一点固定不动,刚体围绕过 陀螺 这点的某一瞬时轴转动(三个变量 般运动刚体不受任何约束,可以在空间任意运动 可分解为质心的平动与绕通过质心的某轴线的定点转 动(六个独立变量

平面平行运动： 一点始终在固定平面内运动. 这时运动可分解为一平面内一 点的平动及绕通过此点且垂直于固 定平面的固定轴的转动(三个变量). 定点转动：一点固定不动, 刚体围绕过 这点的某一瞬时轴转动(三个变量). 一般运动：刚体不受任何约束，可以在空间任意运动. 可分解为质心的平动与绕通过质心的某轴线的定点转 动(六个独立变量)．

2描述刚体转动的物理量 角坐标O角位移aO 角速度: de 角速度大小:O 角速度∂的方向:由右手螺旋法则确定 d k P点线速度与角速度的关系: V三x

2 描述刚体转动的物理量  x z P 角坐标  角位移 d 角速度： 角速度大小： dt d  = 角速度  的方向：由右手螺旋法则确定.  P点线速度与角速度的关系： v r    = k dt d     =   r  v  z P

角加速度 B-a0 do- d20 B=-k k(定轴) P点线加速度与角量的关系: dv d a (×F) B×F对于定轴转动 a2=7B =B×F+O×v n=O×v ro 刚体各质元的角量相同,线量一般不同

角加速度 dt d    =   r  v  z P k dt d k dt d    2 2    = = (定轴) P点线加速度与角量的关系： r v r dt d dt dv a         =  +  = =     ( ) a r     =   a v n    = 对于定轴转动 2    a r a r n = = 刚体各质元的角量相同, 线量一般不同

3欧勒角欧勒运动学方程 刚体定点转动时,选定点为坐z 标系原点,用三个独立角度来确定 转动轴在空间的取向和刚体绕这轴 只yx ? 所转过的角度这三个能够独立变 化的角度叫做欧勒角 ξN 欧勒角的选取:取两组右手正交坐标系,它们的原点 都在定点O上,坐标系O-与7固定不动,而另一组坐标系 O-xy则固定在刚体上随之一起转动设z轴是转动轴 50m平面和xOy平面的交线ON称节线ON和O间的夹角 是一个欧勒角(进动角).ON和Ox间的夹角y是另一个欧 勒角(自转角).O和Oz间的夹角是第三个欧勒角(章动角)

3 欧勒角 欧勒运动学方程 刚体定点转动时, 选定点为坐 标系原点, 用三个独立角度来确定 转动轴在空间的取向和刚体绕这轴 所转过的角度. 这三个能够独立变 化的角度叫做欧勒角. 欧勒角的选取: 取两组右手正交坐标系, 它们的原点 都在定点O上. 坐标系O- 固定不动, 而另一组坐标系 O-xyz 则固定在刚体上随之一起转动. 设 z 轴是转动轴. O 平面和xOy 平面的交线ON 称节线. ON和O间的夹角 是一个欧勒角(进动角). ON和Ox间的夹角是另一个欧 勒角(自转角). O和Oz间的夹角是第三个欧勒角(章动角)

从图知:z轴垂直ON,故z轴位置与N有关,因此z轴 位置要用θ与φ两个角来确定.v为系统绕z轴转动的角 假定On系和Oxyz系开始重合,令Oxz绕∠轴逆时针转动q, 于是x轴和ξ轴分开,y轴和7轴分开,而且Ox轴转到O(即ON; 5-、9 1e s N,Z 5/NI 然后令活动系绕ON转动于是z轴和∠轴分开,活动系三个 轴变到x,y”和z,z轴和轴夹角是,xOy平面和5Om平面夹 角也是.最后,令活动系绕轴转动v这时ON和Ox夹角是v Oy”和Oy夹角也是v,这时,活动系为Oxyz

从图知: z轴垂直ON, 故 z轴位置与N有关, 因此 z轴 位置要用 与 两个角来确定. 为系统绕 z轴转动的角. 假定O-系和 O-xyz系开始重合,令O-xyz绕  轴逆时针转动 , 于是x轴和轴分开，y 轴和轴分开, 而且Ox轴转到Ox’(即ON); 然后令活动系绕ON 转动 ,于是 z 轴和  轴分开, 活动系三个 轴变到x’, y’’和z, z 轴和 轴夹角是 , x’Oy’’平面和O平面夹 角也是 . 最后，令活动系绕z轴转动, 这时ON和Ox夹角是, Oy’’ 和Oy夹角也是, 这时, 活动系为Oxyz