《材料力学》课程PPT教学课件：第六章 弯曲变形

树料力 叫变形

第六章弯曲变形 §6-1概述 §6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §63按叠加原理求梁的挠度与转角 §64梁的刚度校核 §65梁内的弯曲应变能 □§66简单超静定梁的求解方法 回§67梁内的弯曲应变能

§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 第六章 弯曲变形 §6–5 梁内的弯曲应变能 §6–6 简单超静定梁的求解方法 §6–7 梁内的弯曲应变能

§6-1概述 桥式吊梁在自重及 重量作用下发生弯曲变形 研究范围:等直梁在对称弯曲时位移的计算 研究目的:①对梁作刚度校核; ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)

§6－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）

度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ν表示。 与f同向为正,反之为负。 P x2.转角:横截面绕其中性轴转 动的角度。用表示,顺时 ●● 针转动为正,反之为负。 1 二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。 其方程为: v=fer) 小变形 三、转角与挠曲线的关系: tg0 df →b= f dx

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) d d tg f x f  =   =  小变形 P x v C  C1 f

§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分 、挠曲线近似微分方程 1M(x) x p EI M>0 f"(x)0 式(2)就是挠曲线近似微分方程

§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 z z EI 1 M (x) =  一、挠曲线近似微分方程 z z EI M x f x ( )  ( ) =  式（2）就是挠曲线近似微分方程。 EI M x f x ( )   ( ) = − …… （2） ( ) (1 ) 1 ( ) 2 3 2 f x f f x    +   =   小变形 f x M>0 f (x)  0 f x M<0 f (x)  0

对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式: E"(x)=-M(x) 二、求挠曲线方程(弹性曲线) 1.微分方程的积分 E/(x)=-M(x)E∥/(x)=f M(xdx+C E∥(x)=J小(M(x)dkx+Cx+C2 2.位移边界条件 P P C B D )●

EIf (x) = −M (x) 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIf (x) = −M (x) d 1 EIf (x) = (−M (x)) x +C  d 1 2 EIf (x) = ( (−M (x))dx) x +C x +C   1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A C B P D

o支点位移条件 f=0f=0D=0D=0 e连续条件:-=或写成=厂C右 0光滑条件:日C-=日 或写成O左=O,右 讨论: ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 件)确定。 ④优点:使用范围广,直接求岀较精确;缺点:计算较繁

讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： f A = 0 f B = 0 f D = 0  D = 0 − = + C C f f − = + C C   或写成 左 右 C C  = 或写成 左 右 C C f = f

例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解: L 0建立坐标系并写出弯矩方程 M(x=P(x-l) 2写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数 Elf"= -M(x)=P(L-x Ef(0)=6 PL3+C,=0 E=-P(L-x)2+ CL 2 E(0)=E(0)=-P2+C=0 Elf-P(L-x)+Cx+C,.C=PL; C2=-PLS

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = P(x − L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIf  = −M (x) = P(L − x) 1 2 ( ) 2 1 EIf  = − P L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIf = P L − x +C x +C 0 6 1 (0) 2 3 EIf = PL +C = 0 2 1 (0) (0) 1 2 EI = EIf  = − PL +C = 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = PL C = − PL 解： P L x f

L x a写出弹性曲线方程并画出曲线 f(x)= [-x)3+3x-以 6El ⑤最大挠度及最大转角 0=0(L=r23 PL f∫mx=f(L)= 2EI BEI

写出弹性曲线方程并画出曲线   3 2 3 ( ) 3 6 ( ) L x L x L EI P f x = − + − EI PL f f L 3 ( ) 3 max = = EI PL L 2 ( ) 2  max = = 最大挠度及最大转角 x f P L

解:◎建立坐标系并写出弯矩方程 M(x)= P(x-a)(0≤x≤a) 0 (a≤x≤L) f e写出微分方程的积分并积分 P(a-x)(0≤x≤a) E”=0 (a≤x≤L EIf-P(a-x)2+C Elf=6 P(a-x+Cix+c 2 D Dx+

解：建立坐标系并写出弯矩方程      −   = 0 ( ) ( ) (0 ) ( ) a x L P x a x a M x 写出微分方程的积分并积分      − − +  = 1 1 2 ( ) 2 1 D P a x C EIf      + − + + = 1 2 1 2 3 ( ) 6 1 D x D P a x C x C EIf      −    = 0 ( ) ( ) (0 ) a x L P a x x a EIf x f P L a