中国矿业大学力学系：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章 能量法（1/3）

第十二章能量法 §12-1概述 在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能, 简称变形能。 物体在外力作用下发生变形,物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功,即 U=W

第十二章 能量法 §12-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能， 简称变形能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功，即 U=W

§12-2杆件变形能计算 轴向拉伸和压缩 1 Pl U=W=P·△=P EA P4 N-l 2EA 2EA P n(x)dx △- 2EA() CLI2TUI

§12-2 杆件变形能计算 一、轴向拉伸和压缩 U = W P P l l CL12TU1 =  1 2 P l = 1 2 P Pl EA = = P l EA N l EA 2 2 2 2 U N x EA x x l =  2 2 ( ) ( ) d

扭转 (△qm △ △- 1 ml Tl U7=W=m·△q==m 2 G 2G1 2G/ U T2(x) 2G1(x) CL12TU2

二、扭转 U = W    m m CL12TU2 =  1 2 m  = = = 1 2 2 2 2 2 m ml G I m l G I T l G I p p p U T x G I x x p l =  2 2 ( ) ( ) d

弯曲 NIHI1 纯弯曲:U=W=1m,= 1 ml mI M21 2EI2EI2EⅠ M2(x) 横力弯曲:U=2E1)x CL12TU3

三、弯曲 纯弯曲： U = W 横力弯曲： CL12TU3 U M x EI x x l =  2 2 ( ) ( ) d =  1 2 m  = 1 2 m ml E I = = m l E I M l E I 2 2 2 2

四、组合变形 截面上存在几种内力,各个内力及相应的 各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各 个内力只对其相应的位移做功。 N(x) XC ax 1 2Gl( 2EI(x)

四、组合变形 U N x E A x x T x GI x x M x E I x x l p l l =  + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d 截面上存在几种内力，各个内力及相应的 各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各 个内力只对其相应的位移做功

例:试求图示悬臂梁的变形能,并利用功 能原理求自由端B的挠度。 CLI2TU4

例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。 CL12TU4

解: M(x=-Px M(x).f(Px) p2l U 2EI 2EⅠ 6El W=-P y B 由U=W,得vB= P BEl

解： M(x) = −P x U M x E I x l =  2 2 ( ) d =  (Px) E I x l 2 0 2 d = P l EI 2 3 6 W = P  vB 1 2 由U = W，得 v Pl EI B = 3 3

例:试求图示梁的变形能,并利用功能原 理求C截面的挠度。 ×1 CLI2TU5

例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。 CL12TU5

解: pb P M2(x) x二 a00 dx, t d 2ET 2EI 2EI 2 0 8 P63 P-a b p a b 2El1232E236E/l W=-P·v C 由U=W,得: Pa b C BEll

解： U M x E I x l =  2 2 ( ) d = + P b EI l a P a EI l b 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 W = P  v C 1 2 =       +         Pb l x EI x Pa l x EI x a 1 b 2 1 0 2 2 2 0 2 2 d d = P a b EI l 2 2 2 6 由U = W，得： v Pa b EI l C = 2 2 3

例:试求图示四分之一圆曲杆的变形能, 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。 CL12TU6

例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能， 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。 CL12TU6