北京邮电大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析 2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变

第二章连续时间系统的时域分析 了微分方程式的建立与求解 了起始点的跳变 了零输入与零状态响应 冲激响应与阶跃响应 了卷积 大辱电信工祖院

北京邮电大学电信工程学院 1 第二章 连续时间系统的时域分析 微分方程式的建立与求解 起始点的跳变 零输入与零状态响应 冲激响应与阶跃响应 卷积

21引言 时域分析方法不涉及任何变换, 直接求解系统的微分积分方程。 了系统数学模型的时域表示」 (1)输入一输出描述 元n阶微分方程 (2)状态变量描述—n元联立一阶微分方程 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 2 2.1 引言 时域分析方法不涉及任何变换， 直接求解系统的微分积分方程。 系统数学模型的时域表示 (1) 输入－输出描述 —— 一元 n 阶微分方程 (2) 状态变量描述 —— n 元联立一阶微分方程

2.2微分方程式的建立与求解 1,微分方程式的建立 对于电系统,依据是电网络的两个约束特性: 元件特性约束:即表征元件特性的关系式。 例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压 与电流的关系等。 网络拓扑约束:由网络结构决定的电压、 电流约束关系。以基尔霍夫电压定律(KVL)和 基尔霍夫电流定律(KCL)表示。 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 3 2.2 微分方程式的建立与求解 1. 微分方程式的建立 对于电系统，依据是电网络的两个约束特性： • 元件特性约束：即表征元件特性的关系式。 例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压 与电流的关系等。 • 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压、 电流约束关系。以基尔霍夫电压定律(KVL)和 基尔霍夫电流定律(KCL)表示

2,微分方程式的求解 经典法:前面电路分析课里已经讨论过, 但与6(有关的问题有待进一步解决 解方程双蒙法/ 零输入:可利用经典法求 零状态:利用卷积积分法求解 变换域法 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 4 2. 微分方程式的求解 变换域法 零状态:利用卷积积分法求解 零输入:可利用经典法求 双零法 经典法:前面电路分析课里已经讨论过， 但与δ(t)有关的问题有待进一步解决. 解方程 {

2,微分方程式的求解 对于一个线性系统,其激励信号e()与响应函数() 之间的关系,可用下列形式的微分方程式來描述 dr(t) r(t) dr(t) +∴+ +C rt) d t d t e E E d e(t) +…+E d t t 对于线性时不变系统,组成系统的元件是参数恒 定的线性元件,因此式中系数C、E都是常数。上式 就是一个常系数的n阶线性常微分方程。 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 5 对于一个线性系统，其激励信号e(t)与响应函数r(t) 之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述 对于线性时不变系统，组成系统的元件是参数恒 定的线性元件，因此式中系数C、E都是常数。上式 就是一个常系数的 n 阶线性常微分方程。 2. 微分方程式的求解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 E e t dt de t E dt d e t E dt d e t E C r t dt dr t C dt d r t C dt d r t C m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − L L

2.微分方程式的求解 经典解法中,方程的完全解由两部分组成: 齐次解和特解 当式中的e(t)及其各阶导数为零时,方程的解为齐次解。 dr((((((t). r( +…+C dr(t) + +Cr(t)=0 齐次解的形式为Ae的函数组合。注意重根的处理。 特解:根据微分方程右端函数式形式,设含待定系 数的特解函数式→代入原方程,比较系数定 出特解。 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 6 经典解法中，方程的完全解由两部分组成： 齐次解和特解. 当式中的e(t) 及其各阶导数为零时，方程的解为齐次解。 齐次解的形式为 的函数组合。 Aeαt 注意重根的处理。 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 + 1 + + − + = − − C r t dt dr t C dt d r t C dt d r t C n n n n n n L 特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数定 出特解。 2. 微分方程式的求解

几种典型激励函数相应的特解 激励函数e() 响应函数r(的特解 E(常数) B(常数) P Bt"+B2"+…+B2t+Bn Be cOSla B, oslo t+B, sin(o sIn@ t'e sino t )(+B+…+B(+Bn)co(o t'e oslo pr+d ++d d ou k"sin(ot

几种典型激励函数相应的特解 激励函数 e ( t) 响应函数 r ( t)的特解 E (常数 ) B (常数 ) B cos (ω t ) B sin (ω t ) 1 + 2 p t 1 1 1 2 + − + + + p + p p p B t B t L B t B t e α t Be α ( ) ( ) ( ) D t D t D t D e ( )t B t B t B t B e t t p p p p t p p p p ω ω α α sin cos 1 1 1 2 1 1 1 2 + − + − + + + + + + + + + L L t e ( )t p t ω α cos t e ( )t p t ω α sin sin (ω t ) cos (ω t )

2.微分方程式的求解 例题:求微分方程的齐次解 dr(t,dFr(t), u dr(t) 6-)+12n(t)=e(t) 解:特征方程为: a3+7a2+16a+12=0 (+2)(a+3)=0 特征根Q=-2(重根),a=-3 齐次解为A+Ae+Ae 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 8 2. 微分方程式的求解 例题：求微分方程的齐次解 12 ( ) ( ) ( ) 16 ( ) 7 ( ) 2 2 3 3 r t e t dt dr t dt d r t dt d r t + + + = t t t Ate A e A e 3 3 2 2 2 1 − − − + + α = −（重根）， 2 α＝－3 ( 2) ( 3) 0 7 16 12 0 2 3 2 + + = + + + = α α α α α 解：特征方程为： 特征根 齐次解为

例:给定微分方程式0),d1(,m()0+0 dt dt dt 如果已知:()()=t;(2)()=e,分别求两种情况 下此方程的特解。 解:()将e)=代入方程右端得到t+,为使等式两端 平衡,试选特解函数式 B t+Bt+B 这里,B,B2,B3为待定系数。将此式代入方程得到 3B2+(4B1+3B2)t+(2B+2B2+3B)=2+2

如果已知： 分别求两种情况 下此方程的特解。 例：给定微分方程式 ( ) ( ) ( ) ( ) e( )t t e t r t t r t t r t + + = + d d 3 d d 2 d d 2 2 ( ) 1 ( ) ; ( ) ( ) , 2 t e t = t 2 e t = e 平衡，试选特解函数式 ( 1) () 将 e t = t 2代入方程右端 ,得到 t 2 + 2 t ,为使等式两端 3 B t ( 4 B 3 B ) t ( 2 B 2 B 3 B ) t 2 t 2 1 2 1 2 3 2 1 + + + + + = + 这里 , B 1 , B 2 , B 3为待定系数。 将此式代入方程得到 ( ) 2 3 2 rp t = B 1 t + B t + B 解 :

等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有 3B,=1 联解得到 4B1+3B,=2 2B1+2B2+3B3=0 10 所以,特解为B302903-27 t+=t 3927

等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到 所以，特解为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + = = 2 2 3 0 4 3 2 3 1 1 2 3 1 2 1 B B B B B B 27 10 , 9 2 3 1 B 1 = , B 2 = B 3 = − ( ) 2710 9 2 3 1 2 rp t = t + t −