北京邮电大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析 2.6 卷积 2.7 卷积的性质

26卷积 卷积( Convolution)方法的原理就是将信号分 解为冲激信号之和,借助系统的冲激响应,而求 解系统对任意激励信号的零状态响应。 设有两个函数f()和f1(),积分 f()=八()(-)dr 称为f(和2)的卷积积分,简称卷积,记为 f()=f1(8f0)或f()=f()*/() 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 1 2.6 卷积 卷积(Convolution)方法的原理就是将信号分 解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，而求 解系统对任意激励信号的零状态响应。 设有两个函数 f1 (t)和 f2 (t),积分 () ( ) ( ) f () () () () () t f t f t f t f t f t f t f t f t f f t 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) d = ⊗ = ∗ = − ∫∞−∞ 或 称为 和 的卷积积分，简称卷积，记为 τ τ τ

26卷积 任意信号可表示为冲激序列之和c()=)-)r 若把它作用于冲激响应为()的LTS,则响应为 r()=()=f(8(-)dr e(ho(t-r]dr ()址(-r)dr 所以系统的零状态响应为:r2()=c()8M()=e(*h() 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 2 2.6 卷积 所以系统的零状态响应为：r (t) e(t) h(t) e(t) h(t) zs = ⊗ = ∗ 任意信号e(t)可表示为冲激序列之和 () ( ) ( ) τ δ τ dτ ∫∞−∞ e t = e t − [ ] ( ) () ( ) () ( ) [ ] () ( ) τ τ τ τ δ τ τ τ δ τ τ d d ( ) d ( ) ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = = − e h t e H t r t H e t H e t 若把它作用于冲激响应为 h t 的 LTIS,则响应为

26卷积 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性,卷积的积 分限会有所变化.卷积积分中积分限的确定是非常关键的 ※卷积的图形解释 (1)改换图形的横坐标,由t改为 变成函数的自变量; 离r (2)把其中的一个信号反褶; 4- (3)把反褶后的信号做位移,移位 量为t (4)两信号重叠部分相乘(r)(-); (5)完成相乘后图形的积分。 ( 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 3 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积 分限会有所变化．卷积积分中积分限的确定是非常关键的． τ 2.6 卷积 ※ 卷积的图形解释 (1)改换图形的横坐标，由t改为 ， 变成函数的自变量； (2)把其中的一个信号反褶； (3)把反褶后的信号做位移，移位 量为t； (4)两信号重叠部分相乘 ； (5)完成相乘后图形的积分。 τ e(τ )h(t −τ )

26卷积 1)积分上下限 积分眼由f(0,()存在的区间决定, 即由f1(r)/2(t-)≠0的范围决定。 上限取小,下限取大 (2)卷积结果区间 上限下限 一般规律:f(O)[A,B f2()[C, gt) [A+C B+D 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 4 (1)积分上下限 2.6 卷积 上限取小，下限取大 积分限由 存在的区间决定， 即由 的范围决定。 ( ), ( ) 1 2 f t f t ( ) ( ) 0 f1 τ f2 t −τ ≠ [A,B] [C,D] [A+C,B+D] 一般规律： (2)卷积结果区间 上限 下限 f (t) 1 f (t) 2 g(t)

1 解 f(G) t-7 7 10 f f1(-) 3/2 t-)t-

例: 0 τ ( ) τ1f 1 −1 1 t→τ t→t−τ 解: 0 t f ( )t 2 3 3/2 , (0 3) 2 , ( ) 0 1 1 1 ( ) 1 2 = ≤ ≤ ⎩⎨⎧ >< = t t f t tt f t 0 t 1 −1 1 ( ) 1f t 0 τ f ( ) t −τ 2 2 3 t t − 3

t:移动的距离 ()t2/ =0f2(未移动 0f(右移 K0f2(左移 t从-∞到+0,对应1(=r从左向右移动 下限 上限 f2( t-3 t-0 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 6 t ：移动的距离 t=0 f2(t-τ) 未移动 t>0 f2(t-τ) 右移 t<0 f2(t-τ) 左移 t 从 − ∞到+ ∞,对应f2 (t −τ )从左向右移动 下限 上限 t-3 t-0 -1 1 f (t −τ ) 2 (τ ) 1f t τ t − 3 f (t − τ ) 2 0 2 3 −1 1 ( ) τ1f

t<1 t-3 f<-1 两波形没有公共处,二者乘积为0,即积分为0 r(a)f(t-)= g()=f()*2()=0 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 7 t ≤-1 0 τ ( ) τ1f 1 t − 3 t −1 1 f ( ) t −τ 2 两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 t ≤ −1 ( ) ( ) () () () 0 0 1 2 1 2 = ∗ = ⋅ − = g t f t f t f τ f t τ

1t-1时两波形有公共部分,积分开始不为0, 积分下限-1,上限t,t为移动时间; gO=((=dr=n1,(-7)r ×Y 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 8 -1≤ t ≤1 0 τ ( ) τ1f 1 t − 3 −1 t 1 f (t −τ ) ( ) −τ 向右移 2 f t 2 时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间; t > −1 ( ) 4 1 2 4 1 4 2 . d 2 1 ( ) ( ) ( )d 1. 2 2 1 2 1 1 = + + − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − = ⋅ − = − ∫− ∫− t t t g t f f t t t t τ τ τ τ τ τ τ

t<2 f2(-) t-3-101t 即1≤t≤2 t≥1 g()=.(-)dr=t 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 9 1≤ t ≤2 t − 3 t f (t −τ ) 2 ( ) τ1f τ −1 0 1 1 即1 ≤ t ≤ 2 ⎩⎨⎧ ≥ − ≤ −1 3 1 t t g t = ( ) t − = t ∫− . τ dτ 21 ( ) . 11

2<t<4 t-3 t-3≥-1 即2≤t≤4 t-3≤1 g()=1.,(t-7)dz=-+2+2 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 10 2 ≤ t ≤ 4 0 ( ) τ1f 1 −1 1 τ t − 3 t f (t −τ ) 2 即2 ≤ t ≤ 4 ⎩⎨⎧ − ≤ − ≥ − 3 1 3 1 tt 2 4 2 .( )d 21 ( ) 1. 2 1 3 = − = − + + ∫ − t t g t t t τ τ