北京邮电大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）6.3 信号的正交函数分解 6.4 用完备正交集表示信号

63信号的正交函数分解 正交矢量 正交函数 品正交函数集 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 1 6.3 信号的正交函数分解 ♣ 正交矢量 ♣ 正交函数 ♣ 正交函数集

信号分解的目的 ◎将任意信号分解为单元信号之和,从而考查信号的特性 简化系统分析与运算,总响应=单元响应之和。 ()=∑e() H 0=H()=2()|=∑小) 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 2 信号分解的目的 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。 简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。 () () ∑ = = n i i e t e t 0 e (t) i H r (t) i () () [ ] ∑ () () ∑ = = ⎥ =⎦⎤ ⎢⎣⎡ = = ni i ni i r t H e t H e t r t 0 0

63正交函数——正交矢量 矢量:Ⅵ和v2参加如下运算,V是它 们的差,如下式: V-C=v 122 22 122 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 3 矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 是它 们的差，如下式： V Ve V1 − c12 2 = V1 V1 V2 V2 Ve Ve V1 V2 Ve 12V2 c 12V2 c 12V2 c Ve 6.3 正交函数——正交矢量

63正交函数 正交矢量 怎样分解,能得到最小的误差分量?V⊥V2 122=1c0s0= Vy2 cose KV2 V 12 122 C12表示Ⅵ和2互相接近的程度。 当,V2完全重合,O=0,c12=1。随夹角增大,C 2 减小;当θ=90,c12=0,V和V2相互垂直

2 1 2 2 1 2 12 2 1 cos . cos V V V V VV c V =V = = θ θ 2 2 1 2 12 . V V V c = 表示 和 互相接近的程度。 V1 V2 12 c 当 ， 完全重合， 。随夹角增大， 减小；当 ， 和 相互垂直。 V1 V2 θ = 0, c12 =1 12 c = 90 , c12 = 0 o θ V1 V2 Ve V2 v v 怎样分解，能得到最小的误差分量？ ⊥ V1 V2 Ve 12V2 c 6.3 正交函数——正交矢量

63正交函数—一正交矢量 =卩.+ V=ettv 二维正交集 三维正交集 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 5 V = V x + V y V = V x + V y + V z V V x V y V V x V z V y 二维正交集 三维正交集 6.3 正交函数——正交矢量

63正交函数——正交函数 f(1)≈c1/()(1<t<2) E If()-c2/4)2d 令 =0则误差能量82最小。 {2,)1f1(1)-c22()2}=0 d c. t 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 6 ( ) ( ) ( ) 1 12 2 1 2 f t ≈ c f t t < t < t f t c f t dt t t t t 2 1 12 2 1 2 2 [ ( ) ( )] ( ) 1 21 − − = ∫ ε 6.3 正交函数——正交函数 [ ( ) ( )] } 0 1 { 2 1 12 2 12 2 1 2 1 − = − ∫ f t c f t dt dc t t d tt 令 则误差能量 最小。 0 12 2 = dc dε 2 ε

63正交函数——正交函数 1.f2(t)d-2f(t)2(t)lt 12 +2 12 f1()2()d 解得 1?÷ f,(tdt 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 7 f t dt f t f t dt dcd t t tt tt [ ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 12 21 21 ∫ − ∫ − ∫ + = 2 1 2 ( ) ] 0 2 12 2 tt c f t dt 解得 ∫ ∫ = 21 21 ( ) ( ) ( ) 22 1 2 12 tt tt f t dt f t f t dt c 6.3 正交函数——正交函数

63正交函数——正交函数 正交条件 若C12=0,则f()不包含f()的分量, 称正交。 正交的条件: f(t)f(tdt=0 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 8 正交条件 若 ， 则 不包含 的分量， c12 = 0 则称正交。 ( ) 1f t ( ) 2f t ( ) ( ) 0 2 1 1 2 = ∫ tt f t f t dt 正交的条件： 6.3 正交函数——正交函数

例1:f(t) +1(0<t<丌 1(x<t<2m) 试用sint在区间(0,2兀)来近似f(t)。 2兀 t

例1： ⎩⎨⎧− < < + < < = 1 ( 2 ) 1 (0 ) ( ) π π π tt f t 试用sint 在区间（0，2 π ）来近似 。 f (t) π 4 1 π 2π t 0 - 1 π 4

Q 解: 2丌 f(t)sin tdt 丌 sin t dt 丌 2丌 sin tdt +(sin t)dt 丌 丌 丌 所以:f(1) sin t 丌 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 10 解： t dt f t t dt c ∫ ∫ = π π 2 0 2 2 0 12 sin ( )sin ∫ ∫ = + − ππ π π 2 0 [ sin ( sin ) 1 tdt t dt π 4 = f t sin t 4 ( ) π 所以： ≈