北京邮电大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第三章 傅里叶变换 3.8 周期信号的傅立叶变换 3.9 抽样信号的傅立叶变换 3.10 抽样定理

38周期信号的傅立叶变换 正余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 1.正余弦信号的傅立叶变换 F(O)=F7]1=27o)F7)]=(o-an) fT[cos O, t=Ft(e/+e oi) ={[6(0+01)+0(0-01) 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 1 3.8 周期信号的傅立叶变换 正余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 1. 正余弦信号的傅立叶变换 [ ( ). ] ( ) 0 0 1 1 ω ω ω FT f t e = F − j t ( ) [1] 2 ( ) F0 ω =FT = πδ ω [ ( ) ( )] [cos ] [ ( )] 1 1 2 1 1 1 1 π δ ω ω δ ω ω ω ω ω = + + − = + j t − j t FT t FT e e

3.8周期信号的傅立叶变换 1.正余弦信号的 I F(w) 傅立叶变换 TSin @, t =FTI jnz[6(0+m1)-6(0-01) 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 2 [ ( ) ( )] [ ( )] [sin ] 1 1 2 1 1 1 1 π δ ω ω δ ω ω ω ω ω = + − − = − − j FT e e FT t j t j t j 1.正余弦信号的 傅立叶变换 3.8 周期信号的傅立叶变换

2.一般周期信号的傅立叶变换 由傅立叶级数的指数形式出发:f()=2F04 Fro=F ∑a ∑F(ma}2n80-nan) ·由一些冲激组成离散频谱 2n∑F(a)60-na) 位于信号的谐频处 (0,±O1,201;…) 2f(emt,冲激的强度等于F的2z倍 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 3 2.一般周期信号的傅立叶变换 ∑ ∞ =−∞ = n jn n f t F e 1 ( ) ω 由傅立叶级数的指数形式出发： •由一些冲激组成离散频谱 •位于信号的谐频处 •冲激的强度等于 的 倍 ( 0 , , 2 , ) ± ω 1 ω 1 L f t e dt Fn 2π T F jn t T n T 1 1 1 2 1 2 ( ) 1 − ω −∫ =

2,一般周期信号的傅立叶变换 周期信号不满足绝对可积条件; 引入冲激信号后,冲激的积分是有意义的; 在以上意义下,周期信号的傅立叶变换是 存在的; 周期信号的频谱是离散的,其频谱密度 即傅立叶变换是一系列冲激 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 4 周期信号不满足绝对可积条件; 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的; 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是 存在的; 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激. 2.一般周期信号的傅立叶变换

3.周期性脉冲序列的傅立叶级数与单脉冲的傅立叶 变换的关系 周期信号的傅立叶级数为:f(t)= F, n=-0 傅立叶系数为:F1xf(1lm 取的一个周期,其傅立叶变换为 Fo(o)=Info(t)e dt a= nO1 周期脉冲序列的傅立叶级数的系数等于单脉冲的傅 立叶变换在频率点mO1的值乘以1/T。 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 5 3.周期性脉冲序列的傅立叶级数与单脉冲的傅立叶 变换的关系 周期信号f(t)的傅立叶级数为： jn t n n f t F e 1 ( ) ω ∑ ∞ = −∞ = ∫− − = 22 1 11 1 ( ). 1 TT jn t n f t e dt T F 傅立叶系数为： ω 取f(t)的一个周期，其傅立叶变换为： ∫− − = 2 1 2 1 ( ) ( ). 0 0 TT F f t e dt jωt ω 1 0 1 ( ) 1 ω ω ω n F T F n = ∴ = 周期脉冲序列的傅立叶级数的系数等于单脉冲的傅 立叶变换在频率点 的值乘以 nω1 1/T

例:若单位冲激函数的间隔为T1,用符号4()表示周期单 位冲激序列,求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅立叶 变换。 6,()=∑6(-n7) ∑F b() 70T no ln=-00

例：若单位冲激函数的间隔为 ，用符号 表示周期单 位冲激序列，求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅立叶 变换。 T1 ( t ) δ T ∑ ∑ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = = − n jn t n n T F e t t nT 1 . ( ) ( )1 ω δ δ 1 1 1 ( ). 1 2 1 2 1 1 T t e dt T F T T jn t n T = = ∫− − ω δ ∑ ∞ =−∞ = n jn t T e T t ω δ 1 1 ( )

Ff(小=-2x∑F26(0-n) 2兀 (o)=F7()=0∑6(0-mO) c120 6()的频谱密度函数仍然是冲激序列,强度和间隔都是a1

[ ( )] 2 ( ) π F δ ω nω1 FT f t n = ∑ n − ∞ =−∞ ( ) [ ( )] ( ) 1 2 1 1 1 1 1 ∑ ∞ =−∞ = = ∴ = = − n n F FT T t n T T F ω δ ω δ ω ω π Q ω δ T (t)的频谱密度函数仍然是冲激序列，强度和间隔都是ω1

C() Fo(O) ▲▲ FS 0O120,0 F(0

δ(t) 0 t ( ) F0 ω 1 (1) 0 ω (t) δ T T1 t Fn 0 ω 0 ω F(ω) −ω1 ω1 1 2ω 1 − 2ω1 −ω1 ω1 2ω ω1 1 1 T FS FT

38周期信号的傅立叶变换 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较: 单脉冲的频谱F()是连续谱,它的大小 是有限值 周期信号的谱F(O)是离散谱,它的大小 用冲激表示,间隔为O1; 此震邮电太辱电信工兽院

北京邮电大学电信工程学院 9 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较： • 单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小 是有限值； • 周期信号的谱 是离散谱，它的大小 用冲激表示,间隔为 ； ( ) F0 ω F(ω) ω 1 3.8 周期信号的傅立叶变换

求:周期矩形脉冲序列的傅立叶变换 解: F(a)→>F(na)→>F() Fo(o)=ErS T Er。nO1、 F(no)=F(@ 0=no, T F(0)=2x∑F(a2).b(0-na)=2n∑ Er,(n01了 o-no NO14 Eto,Sal

求：周期矩形脉冲序列的傅立叶变换 ) 2 ( ) ( 1 ( ) 1 1 1 0 1 1 τ ω τ ω ω ω ω n Sa T E n F T F n = = = 解：