北京邮电大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续时间系统的时域分析 2.4 零输入和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应

24零输入和零状态响应 微分方程的完全响应零输入响应 零状态响应 零输入响应:没有外加激励信号的作用.只由起始 状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。 零状态响应:不考虑起始时刻系统储能的作用(起始 状态等于零),由系统的外加激励信号 所产生的响应。 在一定条件下,激励源与起始状态之间可以等效转 换。即可以将原始储能看作是激励源。 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 1 2.4 零输入和零状态响应 微分方程的完全响应 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始 状态等于零)，由系统的外加激励信号 所产生的响应。 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始 状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转 换。即可以将原始储能看作是激励源。 零状态响应 零输入响应 {

电容器的等效电路 ‖v(0.)≠0,t≥0 t v(t) ()=i(r)dr=i(t)dr+l i(o)dt C ()+i()drt≥0 Jo 电路等效为起始状态 +v( 为零的电容器与电压 源:(0mO的串联。 等效电路中的电 容器的起始状态 为粵

电容器的等效电路 C + v C ( t ) − i ( t ) C C + v ( t ) C i ( t ) C − vC(0− ) 等效电路中的电 容器的起始状态 为零 ∫ ∫ ∫ ∫ − − − = + ≥ = = + − − ∞ − ∞ t c c t c c t c c i t C v i C i C i C v t 0 0 0 ( ) d 0 1 ( 0 ) ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) τ τ τ τ τ τ τ τ v C ( 0 − ) ≠ 0 , t ≥ 0 电路等效为起始状态 为零的电容器与电压 源 的串联。 v u( )t c ( 0 ) −

电感的等效电路 i (t L L 1(0)≠0,t≥0 vi(dr= vi(r)dr+l vi(r)dt =10)+(y L 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源i(0(r) 的并联。 L i1(0-)

电感的等效电路 i ( t ) L + − v ( t ) L L ( 0 − ) L i i ( t ) L + v ( t ) − L L ( 0 ) ≠ 0 ≥ 0 − i t L ， ∫ ∫ ∫ − − = = + − ∞ − ∞ t L L t L L v t L v L v L i t 0 0 ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) τ τ τ τ τ ( ) d ,( 0 ) 1 ( 0 ) 0 = + ≥ ∫ − − v t L i t L L τ τ 故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 的并联。 i ( 0 ) u ( t ) L −

零输入响应 零输入响应r()由方程右端为零构成的齐次方程 而定。即由齐次方程的特征方程求出特征根再列 写解 如a1和份别为C"+C1a"+…+Cn=0的l个单根和一个k次重根 则()=∑4+②∑ 其中系数AB由初始条件r0)=(0)而定。 无外加激励作用而仅考起始状态产生的响应 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 4 零输入响应 无外加激励作用而仅考虑起始状态产生的响应。 其中系数 、 由初始条件 而定。 则 如 和 分别为 的 个单根和一个 次重根 (0 ) (0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 0 1 + − − = = − = = + + + + = ∑ ∑ k zi k i j zi k j t k j j t l i zi i n n n i r r r t A e B t e C C C l k i A B α β α β α α L 零输入响应 由方程右端为零构成的齐次方程 而定，即由齐次方程的特征方程求出特征根再列 写解： r (t) zi

零状态响应 零状态响应r()由初始状态为零时的方程求解而定, 即:z2(1)=ra()+zm() 其中()和r1(0)分别为如下方程的齐次解和特解 dr(t d rt +…+C. dr(t +C,r(t) d t t d e(.r de( +E1 +…+E +eme(t) d t d t 0)=0 无起始状态作用而仅考虎外加激励产生的响应 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 5 零状态响应 无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应。 (0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 = = + + + + + + + + − − − − − − − k zs m m m m m m n n n n n n r E e t dt de t E dt d e t E dt d e t E C r t dt dr t C dt d r t C dt d r t C L L 零状态响应 由初始状态为零时的方程求解而定， 即： 其中 和 分别为如下方程的齐次解和特解 r (t) zs r (t) r (t) r (t) zs = zsh + zsp r (t) zsh r (t) zsp

24零输入和粵状态响应 假设无重根。完全响应可分解为以下两部分 ∑ 零输入响应=∑A 零状态响应=∑A3"+B( 如果把完全响应按自由响应与强迫响应去划分,则有 自由响应=∑4e 强迫响应=B(r) 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 6 2.4 零输入和零状态响应 假设无重根，完全响应可分解为以下两部分： 如果把完全响应按自由响应与强迫响应去划分，则有： ( ) 1 1 A e B t A e t n i zsi t n i zpi i i = + = ∑ ∑ = = α α 零状态响应 零输入响应 ( ) 1 B t A e t n i i i = = ∑ = 强迫响应 自由响应 α

24零输入和粵状态响应 为便于比较,将以上分析写成如下形式 ()=∑4e4+B 强迫响应 自由响应 ∑4ne+∑A +B(t) 零输入响应 零状态响应 其中 ∑4e"-∑(An+A3 t=1 此邮电大辱电信工裎兽院 盈

北京邮电大学电信工程学院 7 为便于比较，将以上分析写成如下形式： 2.4 零输入和零状态响应 { t n i zpi zsi t n t i t n i zsi t n i zpi t n i i i i i i i A e A e A e A e B t r t A e B t α α α α α ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = + + = + 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ＝ （ ＋A 其中 零输入响应 零状态响应 强迫响应 自由响应 14243 14 24 4 34 14243

系统的响应类型 (1)自由响应也叫固有响应,由系统本身特 性决定的,和外加激励形式无 关。对应于齐次解。 强迫响应形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应是指激励信号接入一段时间内, 完全响应中暂时出现的有关成 分,随着时间增加,它将消失。 稳态响应由完全响应中减去暂态响应分量 即得稳态响应分量。 此邮电大辱电信工裎兽院

北京邮电大学电信工程学院 8 系统的响应类型 (2)暂态响应 ：是指激励信号接入一段时间内， 完全响应中暂时出现的有关成 分，随着时间t增加，它将消失。 稳态响应 ：由完全响应中减去暂态响应分量 即得稳态响应分量。 强迫响应: 形式取决于外加激励。对应于特解。 (1)自由响应：也叫固有响应，由系统本身特 性决定的，和外加激励形式无 关。对应于齐次解

系统的响应类型 (3)零输入响应没有外加激励信号的作用,只由 起始状态(起始时刻系统储能) 所产生的响应。 零状态响应不考虑原始时刻系统储能的作 用(起始状态等于零),由系 统的外加激励信号产生的响应。 此邮电大辱电信工裎兽院 盈

北京邮电大学电信工程学院 9 系统的响应类型 (3)零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由 起始状态（起始时刻系统储能） 所产生的响应。 零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作 用（起始状态等于零），由系 统的外加激励信号产生的响应

例已知系统方程式 dr(t) dt +3r(t)=3a(t) 起始状态r(0)=7,求自由响应强迫响应零输人响应零状态 响应和完全响应。 (1)由方程式求得特征根a=-3,齐次解是A3,特解是1 完全响应为 (t)=Ae23+1 由方程式两端奇异函数平衡条件容易判断,r(+)在起始点无 跳变,T(0)=7(0)=7。利用7(02)求出系数A=,所以 r(1)=e3"+1(≥0) 其中自由啊应=已强迫响应=1