《普通物理学》课程教学资源（PPT课件）第十章 机械振动和电磁振荡 10-5 一维谐振动的合成

§10-5 一维谐振动的合成 一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为 x=A cos(ot+o)x2=4 cos(ot+o) 合位移：x=x,+x2=Ac0s(Ot+4) 其中A=√A+AG+2A4c0s(0-4o) tan或=4sin4。+4sin4 A1c0S中0+A2c0Sp0 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。 上意不元返回退此

上页 下页 返回 退出 设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为 合位移： 2 2 1 2 1 2 20 10 A A A A A = + + − 2 cos( )   合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。 1 10 2 20 0 1 10 2 20 sin sin tan cos cos A A A A      + = + 一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成 1 1 10 x A t = + cos( )   2 2 20 x A t = + cos( )   1 2 0 x x x A t = + = + cos( )   其中 §10-5 一维谐振动的合成

旋转矢量图示法 4=4+4 X A矢量沿x轴之投影表征了合运动的规律。 A=√A+A+2 44 cos(0-40) 江美不意返向退此

上页 下页 返回 退出 旋转矢量图示法 O x 10 20  1 x 2 x x 2 2 1 2 1 2 20 10 A A A A A = + + − 2 cos( )   A 矢量沿x轴之投影表征了合运动的规律。 A1 A2 A A A = +1 2

讨论 1.当两振动同相0-40=2km,k=0,±1，士2，. A=A+A,同相叠加，合振幅最大。 2.两振动反相420-40=(2k+1)π，k=0,±1，士2，. A=4-4 反相叠加，合振幅最小

上页 下页 返回 退出 1.当两振动同相 A = A1 + A2 同相叠加，合振幅最大。 20 10  − = =   2k k π， 0 1 2 ， ， ， t x 1 x 2 x 讨论： 2.两振动反相 A = A1 − A2 反相叠加，合振幅最小。 20 10  − = + =   (2 1) k k π， 0 1 2 ， ， ， O

当A1=A2时，A=0。 3.通常情况下，合振幅介于A+A,和A-A之间。 王觉下元菠面：退收

上页 下页 返回 退出 当A1=A2 时，A=0。 t x 1 x 2 x 3.通常情况下，合振幅介于 A1 + A2 和 A1 − A2 之间。 t x 1 x 2 x O O

例题10-6N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振 幅相等，初相分别为0424.34，.，依次差一个恒量4。， 振动表达式可写成： x=acosot x2 acos(@t+) x3=ac0s(ot+24)） xN acos[ot+(N-1)] 求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的 合成如下图所示：

上页 下页 返回 退出 例题10-6 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振 求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的 合成如下图所示： x acost 1 = 2 0 x a t = + cos( )   3 0 x a t = + cos( 2 )   0 cos[ ( 1) ] N x a t N = + −   振动表达式可写成: 幅相等，初相分别为 0 0 0 0 2 3 ，   ， ， ， ， 依次差一个恒量 0

X a P 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为4，上图 中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上， 令其半径为R,根据简单的几何关系，可得 ∠OCM=N4 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 O x 1 a  2 a  3 a  4 a  a5  0 0 0 0 C A  M 根据简单的几何关系，可得 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 0 ，上图  = OCM N0 令其半径为R， 0  P

在三角形OCM中，OM的长度就是合振动位移矢量 的位移，角度∠MOP就是合振动的初相，据此得 A=2Rsin Nφo 2 考虑到 a 2Rsin 4 2 sin N A-a 2 2 让美子美通回退此

上页 下页 返回 退出 考虑到 在三角形OCM中,OM 的长度就是合振动位移矢量 的位移,角度 MOP 就是合振动的初相，据此得 0 2 sin 2 N A R  = 0 2 sin 2 a R  = 0 0 sin 2 sin 2 N A a   =

合振动初位相 =∠MOP=∠COP-∠COM 红-)方-) 可得合振动的表达式 N sin W-1 x=Acos(ot+)=a 2 cos(@t+- 2 当，=0时（同相合成），有A=Na 6=0 合振幅最大 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 0  =  =  −  MOP COP COM 0 0 0 1 1 1 (π ) (π ) 2 2 2 N    N − = − − − = 合振动初位相 可得合振动的表达式 0 0 0 0 sin 2 1 cos( ) cos( ) 2 sin 2 N N x A t a t       − = + = +  当 0  = 0 时(同相合成)，有 A Na = 0  = 0 合振幅最大

二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成拍 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化。 两个简谐振动的频率0和02很接近，且02>01 x1=AC0s(Ot+4),x2=A2C0(o2t+4) 两个简谐振动合成得 x=x+x2 x=2Ac0s(%,90-c0s(@+m1+4) 2 2

上页 下页 返回 退出 两个简谐振动合成得 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化。 x = x1+ x2 1 1 0 0 cos( ), cos( ) 1 2 2 2 x A t x A t = + = +     二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成 拍 两个简谐振动的频率 1 和 2 很接近，且 2 1 2 1 2 1 0 2 cos( ) cos( ) 2 2 x A t t      − + =  +

因01~02,02-01<<0或02，有 02+01≈0，≈01 2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化，第二项是角频率近于01或0，的简谐函 数。合振动可视为是角频率为(@，+⊙2)/2、振幅为 2Acos(@2-0)t/2的简谐振动。 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象。 拍频：单位时间内强弱变化的次数。 02-01 =2-l 2π 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 因   1 2 ~ ,   2 1 1 −  或 2 , 有 2 1 1 2 2     +   在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 的简谐函 数。合振动可视为是角频率为 、振幅为 的简谐振动。 1 2 ( ) 2  + 2 1 2 cos( ) 2 A t  − 1 或 2 2 1 2 1 1 2π       − = = = −