清华大学：《微观计量经济学》第八章（8-2） 平行数据模型——扩展模型

§82平行数据计量经济学模型(二) 扩展模型 变系数模型 二、动态模型 三、关于平行数据模型的总结

§8.2平行数据计量经济学模型（二） —扩展模型 一、变系数模型 二、动态模型 三、关于平行数据模型的总结

变系数模型

一、变系数模型

要点 变系数模型的表达式 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间不相关—OLS估计 ·固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间相关—GLS估计 随机影响模型的复合误差项 随机影响模型的GLS估计

要点 • 变系数模型的表达式 • 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间不相关——OLS估计 • 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间相关——GLS估计 • 随机影响模型的复合误差项 • 随机影响模型的GLS估计

实际经济分析中的变系数问题 线性模型中,系数表示边际倾向(对于直接线性 模型)或者弹性(对于对数线性模型),而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如 不同地区收入的边际消费倾向不同。 不同地区FD的边际效益不同。 不同家庭的边际储蓄倾向不同。 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 提出了变系数平行数据模型问题

实际经济分析中的变系数问题 • 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如： –不同地区收入的边际消费倾向不同。 –不同地区FDI的边际效益不同。 –不同家庭的边际储蓄倾向不同。 • 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 • 提出了变系数平行数据模型问题

模型表达 系数随横截面上个体而改变的模型为: yn=XB1+ln2i=1,…,H,t=1,…,T 其中Xn和β1是解释变量和参数向量。也可写成 =X,B1+1 其中 y yr丿rxl 2iT KiT)T×K B B

模型表达 系数随横截面上个体而改变的模型为： it Xit i uit y =  + , i = 1,,n; t = 1,,T 其中 Xit 和  i 是解释变量和参数向量。也可写成 i Xi i ui y =  + 其中 1 2 1                = iT T i i i y y y y  iT iT KiT T K i i Ki i i Ki i x x x x x x x x x X                =        1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1               = iK i i i      2 1               = iT i i i u u u u  2 1

1固定影响模型 将β视为固定的不同的常数时,可写成: y=XB+u 将截距项也看作一个虚变量 X,0 n1/nT× n/nT×nK n/nK×1 T

1.固定影响模型 • 将βi视为固定的不同的常数时，可写成： y = X + u 1 2 1                = n nT y y y y  n n T nK X X X X                =        0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1                = n nK      1 2 1                = n nT u u u u  将截距项也看作一个虚变量

·显然,如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关,上述模型的参数估计极为简单,即以每个 截面个体的时间序列数据为样本,采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用 GLS估计同时得到的GLS估计量,也是与在每个 横截面个体上的经典单方程估计一样。 条件: E 0 讠≠J Euu=o2I

• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用 GLS估计同时得到的GLS估计量，也是与在每个 横截面个体上的经典单方程估计一样。 • 条件：  = 0 i j Eu u i  j Eu u I i i i 2  = 

如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零,GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。 为什么? =E1 2 各种文献中提出各种∨矩阵的方 2n 法,形成了各种FGLS估计 nnnt×nT Bgls-(Xv-XXv-ly

• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。 • 为什么？ ij i j  = Eu u  n n n n n T n T n n V                       =        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 X V X X V y GLS 1 1 1 ( ) ˆ − − −  ＝   各种文献中提出各种V矩阵的方 法，形成了各种FGLS估计

2.随机影响模型 令B=B+a1,假定 Ea=0 Ea.a Exa=o euu.= 后两项组成 复合随机项 原模型写成: 问题变成具有复杂 y=XB+ Xa+u 随机项结构的不变 系数模型

2.随机影响模型 原模型写成： 令 i  i  =  + ，假定 = 0 E i      =  = i j i j E i j 0    = 0 Exit j     =  = i j I i j Eu u i T i j 0 2  y = X + X + u ~ 后两项组成 复合随机项 问题变成具有复杂 随机项结构的不变 系数模型

β的最佳线性无偏估计是GLS估计: GlS X!Φ,X X①;y ∑W Φ;=XX+σ2r 复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块 ∑4+02(xX)△+(xX)于 Bi 说明GLS估计是每一个横截面个体 (XX)x1y1“上最小二乘估计的矩降加权平均 权与它们的协方差成比例

• β的最佳线性无偏估计是GLS估计：                  =    = − − = − n i i i i n i GLS i i i X X X y 1 1 1 1 ˆ 1   = = n i Wi i 1  ˆ i i i i T X X I 2  =   + 2 1 1 1 1 2 1 1 [ ( ) ] [ ( ) ] − − − = − −  +          =   +  i i i n i Wi  i Xi Xi  X X i i i i i = X X X  y −1 ( )  ˆ 复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块 说明GLS估计是每一个横截面个体 上最小二乘估计的矩阵加权平均。 权与它们的协方差成比例