浙江科技大学：《信号与系统基础》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 拉普拉斯变换与系统函数（2/4）

第5章拉普拉斯变换与系统函数

第5章 拉普拉斯变换与系统函数

反变换的求解1.留数计算：（利用复变函数理论中的围线积分、留数定理和约当引理等）10X(s)e*"ds =ZResk[x(s)e"] t≥02元k=1对于因果信号，上式中所涉及的留数是在X(s)的收敛边界。以左的半个s平面（包括收敛边界）中X(s)es的奇点处的留数

反变换的求解 • 1. 留数计算：（利用复变函数理论中的围线积 分、留数定理和约当引理等） • 对于因果信号 ，上式中所涉及的留数是在 的收敛边界 以左的半个s平面（包括收敛边 界）中 的奇点处的留数。   ( )   = +  −  = = n k 1 Res k ( ) 2 1 ( ) s t j j s t X s e ds X s e j x t    t  0 X (s)  0 st X (s)e

实际应用中，X(s)est的奇点通常为极点。随着极点阶数的不同，留数的计算也不同：①若s=s,是X(s)e"的一阶极点，则Res[x(s)e"@s = s,]=(s - s,)X(s)e"(5-13)②若s=s,是X(s)e"的p阶极点，则(5-14)Res[X(s)es"@s= s,]=- s)px(s)Sp-1)/dsp-i

实际应用中， 的奇点通常为极点。随着极点 阶数的不同，留数的计算也不同： st X (s)e ① 若 i s = s 是 ( ) st X s e 的一阶极点，则  ( )  ( ) ( ) i s s s t i i s t X s e s s s s X s e = Res @ = = − （5-13） ② 若 i s = s 是 ( ) st X s e 的 p 阶极点，则  ( )  ( ) ( ) ( )  i s s p s t i i s t s s X s e p s X s e s s = − − − − = = p 1 p 1 d d 1! 1 Res @ （5-14）

[例5-6]：（板书讲解）求s + 2Re[s] > 0F(s)= (s+3)s+1)的拉普拉斯反变换。解：在Re[s]<0 的半平面上，F(s)共有三个极点，其中，S=0,S=-3为一阶极点，S=-1 为二阶极点。可得：2S+2esrResF(s)es @s = 0|= (s - 0)3s(s + 3)(s + 1)S=0

[例5-6]：（板书讲解） 求 的拉普拉斯反变换。 ( )( ) 2 s s 3 s 1 s 2 F s + + + ( ) = Res  0 解：在 的半平面上， 共有 三个极点， 其中 ， ， 为一阶极点， 为二阶极 点。可得： Res 0 s = 0 F(s) s = −3 s = −1  ( )  ( ) ( )( ) 3 2 e s s 3 s 1 s 2 Res F s e s 0 s 0 s 0 s t 2 s t = + + + = = − = @

S+21-3tRes[F(s)e" @s = -3]= (s + 3)esre12s(s + 3)(s + 1)6=-3S+2d2esrRes[F(s)e't @s = -1s(s + 3)(s + 1)-1) dsS=-1ds+2esrdss(s +3)3t+22

 ( )  ( ) ( )( ) 3 t s 3 s t 2 s t e 12 1 e s s 3 s 1 s 2 Res F s e s -3 s 3 − =− = + + + @ = = +  ( )  ( ) ( ) ( )( ) t s s t s t t e e s(s ) s e s s s s F s s s − =− =       = − +       + + =       + + + + − = = 2 3 2 1 3 2 ds d 3 1 2 1 ds d 2 1 ! 1 Res e @ - 1 1 s -1 2 s t 2

由此最后得：231f（t312?利用留数计算求F（s）的拉普拉斯反变换。与傅里叶反变换相比，拉普拉斯反变换的计算可以借助于留数计算，因此要容易很多

由此最后得： t t f t e t e − −       = + − + 2 3 2 1 12 1 3 2 ( ) 3 t  0 利用留数计算求 F（s）的拉普拉斯反变换。 与傅里叶反变换相比，拉普拉斯反变换的计算可 以借助于留数计算，因此要容易很多

还存在着另外一些实用技术，其中部分分式展开法是一种使用广泛又方便有效的技术。其原因为，除了少数例外情况会遇到无理函数形式的象函数外，实用中遇到的问题多为上例中所见的有理分式函数形式的象函数，因此在将其进行部分分式展开后，很容易求出各个分式所对应的原函数从而使问题得解

• 还存在着另外一些实用技术，其中部分分式展 开法是一种使用广泛又方便有效的技术。其原 因为，除了少数例外情况会遇到无理函数形式 的象函数外，实用中遇到的问题多为上例中所 见的有理分式函数形式的象函数，因此在将其 进行部分分式展开后，很容易求出各个分式所 对应的原函数从而使问题得解

[例5-7]:s+ 2F(s)=Re[s]>0用部分分式展开求s(s + 3)(s + 1)的拉普拉斯反变换，解：将进行部分分式展开，得K32K,K,K31F(s)=s+1+ (s+1)S+3s利用待定系数法可求出：2K, = F(s) (s+ 3)- 12K, = F(s)·SsS=03

[例5-7]: 用部分分式展开求 ( )( ) 2 s s 3 s 1 s 2 F s + + + ( ) = 的拉普拉斯反变换。 解：将 进行部分分式展开，得 利用待定系数法可求出： Res  0 ( ) 2 1 2 3 1 3 2 3 1 1 ( ) + + + + + = + s K s K s K s K F s 3 2 K F s s 1 s 0 =  = = ( ) ( ) 12 1 K F s s 3 2 s -3 =  + = = ( )

3K3 =[F(s) (s+ 1)]4S=-11K32 = F(s)· (s + 1)2s=-1从而:311/112 1Re[s]>0F(s)3 s2 (s+1)212 s +34 s+111因为:(t)te(t)(s + 1)2s2131-3tte-tf(t)(t ≥ 0)所以：32124

 ( )  4 3 K F s s 1 s -1 s 2 3 1 = −  =  + = ( ) ( ) 2 1 K F s s 1 s -1 2 3 2 =  + = − = ( ) 从而： 2 ( 1) 1 2 1 1 1 4 3 3 1 12 1 1 3 2 ( ) + − + − + = + s s s s F s Res 0 因为： 所以： s t 1  ( )  ( ) 2 1 1 ( ) + −  s te t t  t t t f t e e t e − − − = + − − 2 1 4 3 12 1 3 2 ( ) 3 (t  0)

5.3.4单边拉普拉斯变换的主要性质·1.线性性若fi(t)01 ;2(t)F2(s),Re[5]>02则对任意常数a，b有afi(t) +bf2(t) <>aF(s)+bF2(s)通常情况下，收敛域为 Re[s]>Max(i,c2)，也即 F(s)与F(s）收敛域的公共部分，但若有信号对消，收敛域可能会扩大

5.3.4 单边拉普拉斯变换的主要性质 • 1．线性性 若 则对任意常数a，b 有 通常情况下，收敛域 为 ，也即 与 收敛域的公共部分，但若有信号对消 ，收敛域可能会扩大。 ( ) ( ) 1 1 f t  F s ，   Re 1 s ； ( ) ( ) 2 2 f t  F s ，   2 Re s  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 af t + bf t  aF s + bF s Re  ( , ) Max 1  2 s  ( ) 1 F s ( ) 2 F s