《信号与系统分析》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 连续时间信号与系统的频域分析

第3章连续时间信号与系统的频域分析频域分析时域分析时间t分析变量频率系统方程微分方程代数方程输出信号的频输出信号的时研究问题率响应特性间响应特性正弦信号或虚基本信号（单元）8(t)指数信号eiotf(t)分解为不同频率凡t)分解为无穷多信号分解的方法的正弦信号或虚指数个t)函数信号之和（或积分）系统的零状态响应~ (0) = 6(0) *μ(0)(10)= E(0)H(10

第3章 连续时间信号与系统的频域分析 时域分析 分析变量 时间t 系统方程 微分方程 研究问题 输出信号的时 间响应特性 基本信号(单元) (t) 信号分解的方法 f(t)分解为无穷多 个(t)函数 系统的零状态响应 ( ) ( ) ( ) zs y t e t h t =  频域分析 频率  代数方程 输出信号的频 率响应特性 正弦信号或虚 指数信号e j t f (t)分解为不同频率 的正弦信号或虚指数 信号之和(或积分) ( ) ( ) ( ) zs Y j E j H j    =

3.1信号的正交分解3.1.1量的正交分解正交失量：相互垂直的矢量1)任意平面失量A：：均可用二维正交的分矢量组合表示若V、V为正交单位矢量则平面上完备的正交矢量集为（ViV)A=CV +CVC2V茸中=I-5OH·NC,Vi

3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交分解 正交矢量：相互垂直的矢量 1)任意平面矢量A: 均可用二维正交的分矢量组合表示 C1V1 C2V2 V1 V2 A 0 若V1 、V2为正交单位矢量 则平面上完备的正交矢量集为{V1 ,V2 } A CV C V = + 1 1 2 2 1,2 i i i i A V C i V V  =  其中 ＝ V1 V2

2）任意空间矢量A：可用三维正交的分矢量组合表示A=CV +CV2 +C3V3空间上完备的正交矢量集为(V1V，V3·中C=-53.M3C,V类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合

2)任意空间矢量A: 可用三维正交的分矢量组合表示 类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号， 使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。 空间上完备的正交矢量集为{V1 ,V2， V3 } A CV C V C V = + + 1 1 2 2 3 3 A C1V1 C2V2 C3V3 0 1,2,3 i i i i A V C i V V  =  其中 ＝

3.1.2信号的正交分解1)正交函数假设i(t) 和g2(t)为定义在区间(ti,t2)上的两个函数8'()8()g=0←两函数正交条件若满足则称gi(t)和92(t)在区间(ti，t2)上正交。2)正交函数集(）(()()当其中所有的函数在区间(t，t)上满足下±01=α (c) (t)gf =0 ！1则称此函数集为区间(t，t)上的正交函数集

3.1.2 信号的正交分解 1) 正交函数 若满足 2 1 1 2 ( ) ( ) 0 t t g t g t dt =  两函数正交条件 假设g1 (t) 和g2 (t)为定义在区间(t1 , t2 )上的两个函数， 则称g1 (t) 和 g2 (t)在区间(t1 , t2 )上正交。 若有一个定义在区间 上的实函数集 (t t t t t 1 2 1 2 ， ， ， ) g ( ) g ( ) g ( ) L n  2 1 0 g ( ) ( ) 0 t i j t i i j t g t dt k i j   =    =  2) 正交函数集 当其中所有的函数在区间(t1 , t2 )上满足 则称此函数集为区间(t1 , t2 )上的正交函数集

若常数k，=1，则称此函数集为归一化的正交函数集在区间内相互正交的n个函数构成正交信号空间正交复函数集(()()困(()冈恒)扭吃(0)a ()g =0()冈)困

在区间内相互正交的n个函数构成正交信号空间 若常数ki＝1，则称此函数集为归一化的正交函数集。 1 2 在区间 内若满足 ( , ) t t 设 构成一个复函数集 g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 1 2 t t t t ， L n r     1 2 g ( ) ( , ) r 则称 在区间 内为正交函数集 t t t 2 1 0 g ( )g ( ) t i j t i i j t t dt k i j    =   =  正交复函数集

3)完备的正交函数集(）(()a(0)()gf = 0!=O'T5'FM否则为完备的正交函数集

3) 完备的正交函数集 若在正交函数集 之外 存在 满足 g ( ) g ( ) g ( ) g( ) 1 2 t t t t ， ， L n  2 1 g( )g ( ) 0 ( 0,1,2, ) t i t t t dt i n = =  L 则称 为不完备的正交函数集, g ( ),g ( ), g ( ) 1 2 t t t L n  否则为完备的正交函数集

4常用的正交函数集a三角函数集TCO2UT'CO2JUIF CO2WT2IU2IUSUIT 2IUNU"由积分可知Clo+Tcos(mQ2t) · sin(nQ2t)dt = 07-207-20m=nCto+Tcos(mQt)·cos(nQt)dt =m≠nm=nto+1sin(mQ t) sin(nQt) =m≠n

( ) ( ) 0 0 cos sin 0 t T t m t n t dt +    =  ( ) ( ) 0 0 , cos cos 2 0, t T t T m n m t n t dt m n +   =    =      ( ) ( ) 0 0 , sin sin 2 0, t T t T m n m t n t m n +   =    =      由积分可知 4) 常用的正交函数集 a 三角函数集 1,cos ,cos2 cos ,sin ,sin 2 , sin       t t m t t t n L L  0 0 在区间 内组成完备的正交函数集 ( , ) t t T+

复数函数集b(=NI+T因为ejmQ(ejnQidi+Tej(m-n)Qt‘dtDm≠nTm=n

b 复数函数集   ( 0, 1, 2 ) jn t e n  =     L 0 0 在区间 内组成完备的正交函数集 ( , ) t t T+ 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 jm t jn t j m n t t T e e dt t t T e dt t m n T m n    −  + + =   =   =   因为

C其它正交函数集（不要求掌握）数字技术与计算机科学发展的需要(1）沃尔什（walsh）函数共有特点：只取两个数值+1，-1(3)验得乌源(R桑数macher)函数其中沃尔什函数应用较多等各种正交函数集中复指数函数集较常用

c 其它正交函数集 数字技术与计算机科学发展的需要 (1)沃尔什(walsh)函数 (2)哈尔(Haar)函数 (3)拉得马赫(Rademacher)函数 等 共有特点： 只取两个数值+1，–1 其中沃尔什函数应用较多 （不要求掌握） 各种正交函数集中复指数函数集较常用

5信号分解为正交函数区任)区1=I1(0) =c'8'(0)+c83(0)+ +c"8"(0)=Zc'8'(0)N”冈"/ 1()-Zc8 (0)gf

5) 信号分解为正交函数 2 1 2 ( ), ( ), ( ) ( , ) n n t g t g t t t 1 设 个函数 在区间 构成一个正交函数空间 g L 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n j j j f t c g t c g t c g t c g t =  + + + = 1 2 L  1 2 ( , ) t t  _ 为满足最佳近似，在区间 内应使 最小 方均误差 2 ( ) 2 1 _ 2 2 1 1 1 ( ) n t j j t j f t c g t dt t t  =   = −   −     2 1 2 任意信号 在区间 内近似表示为 f t t t ( ) ( , )