浙江科技大学：《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 拉普拉斯变换与系统函数

第5章拉普拉斯变换与系统函数

第5章 拉普拉斯变换与系统函数

5.1引言傅立叶变换的频域分析技术还存在着如下的不足：（1）工程问题中会遇到傅里叶变换不存在的因果信号。（2）由于傅立叶反变换涉及的是沿虚轴的无穷积分，求反变换时往往遇到数学上的困难；（3）非零初始条件下的线性系统的瞬变响应分析问题上将遇到很大的困难：（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用频域分析工具按给定的指标要求确定系统结构与参数

5.1引言 ⚫ 傅立叶变换的频域分析技术还存在着如下的不 足： （1）工程问题中会遇到傅里叶变换不存在的因 果信号。 （2）由于傅立叶反变换涉及的是沿虚轴的无穷 积分，求反变换时往往遇到数学上的困难； （3）非零初始条件下的线性系统的瞬变响应分 析问题上将遇到很大的困难； （4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综 合工具，也即不能用频域分析工具按给定的指 标要求确定系统结构与参数

5.2拉普拉斯变换概念的引入：5.2.1由于实际工程中遇到的两类指数阶信号，当t一→>80时，信号幅度不衰减，反而增长，也即信号不收敛傅里叶变换不存在。为克服这一问题，引入收敛因子e-（α为实常数），构成x(t)e"，这样如α取得足够大，就可使x(t)e-"在t→o 时趋于零，从而使x(t)e-α 满足绝对可积的条件，从而使其存在傅立叶变换：x(t)e- < [ x(t)e-e-jol dt = [x(t)e-(o+jo) dt0O则:令：s=o+jox(t)e-o (x(t)e-st dt=X(s)

5.2 拉普拉斯变换 5.2.1 概念的引入： 由于实际工程中遇到的两类指数阶信号，当 时，信号幅度不衰减，反而增长，也即信号不收敛。 傅里叶变换不存在。为克服这一问题，引入收敛因 子 （σ为实常数），构成 ，这样如σ取得 足够大，就可使 在 时趋于零，从而使 满足绝对可积的条件，从而使其存在傅立叶 变换： 令： 则： t →  t e − t x t e − ( ) t x t e − ( ) t →  t x t e − ( ) x t e x t e e dt x t e dt t t j t j t   + − + + − − −  = 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( )      s =  + j ( ) ( ) ( ) 0 s x t e x t e dt X s t t  + − −  =  

[例5-1]求x(t)=ε(t)的拉普拉斯变换解：X(s)=(t)edts前已得到X(j)= 元8(の)- 0显然X(jo) ± X(s)l.s=jd+84-α (x(t)e-st dt=X(s)x(t)e(5-3)C注意到式（5-3）所示的拉普拉斯变换仅使用于因果信号，故称之为单边拉普拉斯变换

[例5-1]求 的拉普拉斯变换。 • 解： • 前已得到 • • 显然 • • （5-3） • 注意到式（5-3）所示的拉普拉斯变换仅使用于 因果信号，故称之为单边拉普拉斯变换。 x(t) =  (t) s X s t e dt s t 1 ( ) ( ) 0 = =  + −       1 X ( j ) = ( ) − j   s j X j X s = ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s x t e x t e dt X s t t  + − −  =  

5.2.2双边拉普拉斯变换定义：对于信号x(t)（-<t<+）。称X(s) = [x(t)e-stdt为 x(t) 的双边拉普拉斯变换，符号为 L[x(t)] 。双边拉普拉斯变换的收敛域：(a_ <at)α_ <Re[s]<α+这是s平面上的一个带状域。若双边拉普拉斯变换的收敛域包含了虚轴，则仍然成立：X(jo)= X(s)s=jc

5.2.2 双边拉普拉斯变换 定义：对于信号 （ ）。称 为 的双边拉普拉斯变换，符号为 。 双边拉普拉斯变换的收敛域： 这是s平面上的一个带状域。 若双边拉普拉斯变换的收敛域包含了虚轴，则 仍然成立： x(t) −   t  + X s x t e dt st  + − − ( ) = ( ) x(t) L x(t)    −   + Re s ( ) −  +   s j X j X s = ( ) = ( )

［例5-2]：设信号可表达为：att≥0ef(t):eBt0，第二项积分为1fe-e-"dt = [e-(α+s)}dt -s+αs+α0O

• 设信号可表达为： 求其双边拉普拉斯变换。 解： 在 ，上式右端第一项积分为 在 ，第二项积分为 [例5-2]：      = − − 0 0 ( ) e t e t f t t t F s f t e dt e e dt e e dt s t t s t t s t    + − − − − − + − − = = + 0 0 ( ) ( )   Res+   0      + = − + − = = − − + − − + − − −   s e s e e dt e dt t s t s t 1 ( s)t 0 1 0 ( ) 0 Res+  0      + = + − = = + − + + − + + − −   s e s e e dt e dt t s t s t 1 s t 1 0 ( ) 0 ( ) 0

这样，仅当 Re[s] 同时满足Re[s]-αF(s)才有意义，也即F(s)的收敛域为s平面上的一个带状域：-αβ时，f(t)才存在双边拉普拉斯变换。若 α≤β，则s平面上不存在使F(s)有意义的区域，因此f(t)不可变换

这样，仅当 同时满足 和 才有意义，也即 的收敛域为s平面上的 一个带状域： 这意味着，仅当 时， 才存在双边拉普 拉斯变换。若 ，则s平面上不存在使 有意义的区域，因此 不可变换。 Res Res  − Res  − F(s) F(s) −  Res  −    f (t)    F(s) f (t)

[例5-3]因果信号f(t)=e-αtu(t)的双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换相同，均为1F(s) :s+αRe[5]>-α收敛域也相同，均为即右半平面（包括大半或小半，视α而定）

[例5-3] • 因果信号 的双边拉普拉斯变换与 单边拉普拉斯变换相同，均为 收敛域也相同，均为 即右半平面（包括大半或小半，视 α而定）。 f (t) e u(t) −t = + = s F s 1 ( ) Res  −

[例5-4] :因果信号fi(t) =e-αu(t)与非因果信号f,(t) =-e-αtu(-t)具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。F(s)= [e-"u(Re[s]>-αs+α01Re[s]<-αFz(s) = [-e- u(-t)es'dt =Ps+α

[例5-4]： 因果信号 与非因果信号 具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不 同。 ( ) ( ) 1 f t e u t −t = ( ) ( ) 2 f t e u t t = − − −    + = = =   + − − + − − − s F s e u t e dt e e dt t s t t s t 1 ( ) ( ) 0 1 Res  −    + = − − = − =   − − − + − − − s F s e u t e dt e e dt t s t t s t 1 ( ) ( ) 0 2 Res −

图5-1示出了这两个信号及其变换的收敛域f(t)10表明，对双边拉普拉斯变换而言，单由变20s平面换的表达式不能判知对应的f(t)tjw信号，反过来，求信号的双边0s平面拉普拉斯变换1时，必须注明其收敛域

图5-1示出了这两个信号及其变换的收敛域： 表明，对双边 拉普拉斯变换 而言，单由变 换的表达式不 能判知对应的 信号，反过来， 求信号 的双边 拉普拉斯变换 时，必须注明 其收敛域