浙江科技大学：《信号与系统基础》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 拉普拉斯变换与系统函数（3/4）

第5章拉普拉斯变换与系统函数

第5章 拉普拉斯变换与系统函数

5.4单边拉普拉斯变换用于线性系统分析引言5.4.1与傅里叶分析不同，使用拉普拉斯变换技术分析线性系统时，所关注的不仅是系统对输入激励信号的响应，而是同时考虑了系统初始状态引起的响应。在应用拉普拉斯变换的过程中，系统初始条件能被自动地引入，而且，描述系统的时域积分-微分方程将被转换为s域中的代数方程，因而使运算与求解变得十分容易。在求得s域中的系统输出后，作反变换即可得到时域输出

5.4 单边拉普拉斯变换用于线性系统 分析 5.4.1 引言 与傅里叶分析不同，使用拉普拉斯变换技术分 析线性系统时，所关注的不仅是系统对输入激 励信号的响应，而是同时考虑了系统初始状态 引起的响应。在应用拉普拉斯变换的过程中， 系统初始条件能被自动地引入，而且，描述系 统的时域积分-微分方程将被转换为s域中的代 数方程，因而使运算与求解变得十分容易。在 求得s域中的系统输出后，作反变换即可得到时 域输出

5.4.2拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换分析线性系统包括了以下四个步骤：（1）根据物理定律建立描述系统的微分方程或积分微分方程；(2）对建立起来的方程中的每一项取拉普拉斯变换，得到在s域中描述系统的代数方程；(3）从s域方程中求解出系统响应的变换，即象函数；（4）对输出响应的象函数取拉普拉斯反变换，得到系统的时域输出信号

用拉普拉斯变换分析线性系统包括了以下四个步骤： （1）根据物理定律建立描述系统的微分方程或积分- 微分方程； （2）对建立起来的方程中的每一项取拉普拉斯变换， 得到在s域中描述系统的代数方程； （3）从s域方程中求解出系统响应的变换，即象函数； （4）对输出响应的象函数取拉普拉斯反变换，得到 系统的时域输出信号。 5.4.2 拉普拉斯变换求解线性微分方程

[例5-15]：系统如图5-10所示，输入为x（t）求系统输出y(t)国面R+oo+解：根据物理学基本定律，C于uc(t)=y(t)x(t)描述此系统的微分方程为uc(0.)duc(t)uc(t) + RC L= x(t)图5-10例5-15系统+dtuc(o_)0t≥0对上式两端进行拉普拉斯变换得Uc(s) + RC[sUc(s)-uc(O_)]= X(s)从而得：X(s)RC1[x(s)+ RCuc(0_)]Uc(s)uc(0_)1 + RCs1+ RCs1+ RCs

[例5-15]: 系统如图5-10所示，输入为x(t) ， 求系统输出y(t) 。 解：根据物理学基本定律， 描述此系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) x t dt du t u t RC C C + = t  0 uC (0− )  0 对上式两端进行拉普拉斯变换得 从而得： U (s) RC[sU (s) u (0 )] X(s) C + C − C − =  ( )  ( ) (0 ) 1 1 (0 ) 1 1 ( ) − − + + + + = + C = C uC RCs RC RCs X s X s RCu RCs U s

1XRC[X(s) + RCuc(0_)]Uc(s)uc1 + RCs1 + RCs1 + RCs这就是S域中的系统输出。不难看出，系统输出由两项组成，一项是由输入信号引起，因此是零状态响应；另一项由电容C上的初始电压引起，因此是零输入响应。对进行拉普拉斯反变换，系统的时域输出就可得到

 ( )  ( ) (0 ) 1 1 (0 ) 1 1 ( ) − − + + + + = + C = C uC RCs RC RCs X s X s RCu RCs U s 这就是S域中的系统输出。 不难看出，系统输出由两项组成，一项是由输入信 号引起，因此是零状态响应；另一项由电容C上的 初始电压引起，因此是零输入响应。对 进行拉普拉 斯反变换，系统的时域输出就可得到

[例5-16]：系统如图5-11所示，开关K由1至2的时刻为t=0，求系统的输出i(t)。20RKCy(t)=i(t)二A图5-11例5-16的系统+

[例5-16]: 系统如图5-11所示，开关K由1至2的时刻 为t=0 ，求系统的输出i(t)

解：由图可知，系统的积分-微分方程为i(t)dt = x(t) (t≥0)Ri(t) +上式可改写为i(t)dt = x(t) (t ≥0)Ri(t) +dTo其中i(t)dt = uc(0. )因此，系统微分方程为：(t ≥ 0)Ri(t) +i(t)dt = x(t) - A

解：由图可知，系统的积分-微分方程为 上式可改写为 其中 因此，系统微分方程为： ( ) ( ) 1 ( ) i d x t C Ri t t + =  −   (t  0) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 i d x t C i d C Ri t t + + =   − − −     (t  0) （C -） 0 ( ) 0 1 i d u C =  − −   i d x t A C Ri t t + = −  − ( ) ( ) 1 ( ) 0   (t  0)

在上式两端作拉普拉斯变换，得：1I(sRI(s) +CsS由此得sCsCsCI(s)1 + RCs1 + RCs1 + RCsSS与例5-15相类似，系统输出也由两项构成，一项是零状态响应，另一项是零输入响应

在上式两端作拉普拉斯变换，得： s A X s s I s C RI s + = ( ) − 1 ( ) ( ) 由此得 ( )        − + + +  =      − + = s A RCs sC X s RCs sC s A X s RCs sC I s 1 1 ( ) 1 ( ) 与例5-15相类似，系统输出也由两项构成，一项是 零状态响应，另一项是零输入响应

5.4.3系统函数的概念比较例5-15与例5-16的输出：1[X(s) ++RCuc(O_)CS1 + RCs11X(s)RCuc(0_)1+ RCs1 + RCssCAX(s)I(s)1+ RCsssCsCX(s)1 + RCs1 + RC

5.4.3系统函数的概念 比较例5-15与例5-16的输出：   (0 ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) (0 ) 1 1 ( ) C − − + + + = + + + = C C RCu RCs X s RCs X s RCu RCs U s ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) s A RCs sC X s RCs sC s A X s RCs sC I s − + + + =       − + =

不难看出，RCuc(0.)和(--)S均表征了系统初始条件引起的激励作用，因此如果用Xeg(s）表示这一等效激励，前面的两个式子均可表为如下的形式：Y(s) = H(s)[X(s) + Xe.(s))= H(s)X(s) + H(s)Xeg(s)例如对于式（5-38），有1Xeg(s) = RCuc(O_)Y(s)=Uc(s) H(s) :1+ RCs

不难看出， 和 均表征了系统初始条件引起的激励作用， 因此如果用 表示这一等效激励，前面的两个 式子均可表为如下的形式： 例如对于式（5-38），有 (0 ) RCuC − ( ) s A − X (s) eq   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s X s H s X s Y s H s X s X s eq eq = + = + Y(s) U (s) = C RCs H s + = 1 1 ( ) ( ) (0 ) eq = RCuC − X s ，